Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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8 / 132 / 132
↖ ↑ ↗
← S  5.615986°
E  5.625000°		 ← 155.617 km → S  5.615986°
E  7.031250°		 →
↑
155.415 km
↓
↑
155.415 km
↓
S  7.013668°
E  5.625000°		 ← 155.198 km →
24 153.9 km²		 S  7.013668°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517578125 y=0.517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517578125 × 28)
    floor (0.517578125 × 256)
    floor (132.5)     		tx = 132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517578125 × 28)
    floor (0.517578125 × 256)
    floor (132.5)     		ty = 132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 132 / 132 ti = "8/132/132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/132/132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 132 ÷ 28
    132 ÷ 256     		x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 132 ÷ 28
    132 ÷ 256     		y = 0.515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515625 × 2 - 1) × π
    -0.03125 × 3.1415926535     		Φ = -0.098174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.098174770421875))-π/2
    2×atan(0.906490462188372)-π/2
    2×0.736389441754059-π/2
    1.47277888350812-1.57079632675     		φ = -0.09801744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09801744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.615986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 132 KachelY 132 0.09817477 -0.09801744 5.625000 -5.615986
    Oben rechts KachelX + 1 133 KachelY 132 0.12271846 -0.09801744 7.031250 -5.615986
    Unten links KachelX 132 KachelY + 1 133 0.09817477 -0.12241160 5.625000 -7.013668
    Unten rechts KachelX + 1 133 KachelY + 1 133 0.12271846 -0.12241160 7.031250 -7.013668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09801744--0.12241160) × R
    0.02439416 × 6371000     		dl = 155415.19336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09801744--0.12241160) × R
    0.02439416 × 6371000     		dr = 155415.19336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.12271846) × cos(-0.09801744) × R
    0.02454369 × 0.995200135433612 × 6371000     		do = 155617.304492311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.12271846) × cos(-0.12241160) × R
    0.02454369 × 0.992517051180543 × 6371000     		du = 155197.756378999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09801744)-sin(-0.12241160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995200135433612-0.992517051180543)×R²
    abs(0.12271846-0.09817477)×0.00268308425306873×R²
    0.02454369×0.00268308425306873×6371000²
    0.02454369×0.00268308425306873×40589641000000     		ar = 24153889185.5224m²