Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13376 / 13376
↖ ↑ ↗
← S 74.402163°
E113.906250°		 ← 656.96 m → S 74.402163°
E113.928223°		 →
↑
656.79 m
↓
↑
656.79 m
↓
S 74.408069°
E113.906250°		 ← 656.71 m →
431 401 m²		 S 74.408069°
E113.928223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816436767578125 y=0.816436767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816436767578125 × 214)
    floor (0.816436767578125 × 16384)
    floor (13376.5)     		tx = 13376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.816436767578125 × 214)
    floor (0.816436767578125 × 16384)
    floor (13376.5)     		ty = 13376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13376 / 13376 ti = "14/13376/13376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13376/13376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13376 ÷ 214
    13376 ÷ 16384     		x = 0.81640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13376 ÷ 214
    13376 ÷ 16384     		y = 0.81640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81640625 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98803910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.81640625 × 2 - 1) × π
    -0.6328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.98803910104297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98803910} λ = 1.98803910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.98803910104297))-π/2
    2×atan(0.136963734340053)-π/2
    2×0.136116809431745-π/2
    0.27223361886349-1.57079632675     		φ = -1.29856271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98803910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29856271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.402163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13376 KachelY 13376 1.98803910 -1.29856271 113.906250 -74.402163
    Oben rechts KachelX + 1 13377 KachelY 13376 1.98842260 -1.29856271 113.928223 -74.402163
    Unten links KachelX 13376 KachelY + 1 13377 1.98803910 -1.29866580 113.906250 -74.408069
    Unten rechts KachelX + 1 13377 KachelY + 1 13377 1.98842260 -1.29866580 113.928223 -74.408069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29856271--1.29866580) × R
    0.000103090000000083 × 6371000     		dl = 656.786390000531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29856271--1.29866580) × R
    0.000103090000000083 × 6371000     		dr = 656.786390000531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98803910-1.98842260) × cos(-1.29856271) × R
    0.000383500000000092 × 0.268883464392247 × 6371000     		do = 656.957187555251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98803910-1.98842260) × cos(-1.29866580) × R
    0.000383500000000092 × 0.268784169488252 × 6371000     		du = 656.71458245116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29856271)-sin(-1.29866580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.268883464392247-0.268784169488252)×R²
    abs(1.98842260-1.98803910)×9.9294903995184e-05×R²
    0.000383500000000092×9.9294903995184e-05×6371000²
    0.000383500000000092×9.9294903995184e-05×40589641000000     		ar = 431400.870117156m²