Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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8 / 136 / 136
↖ ↑ ↗
← S 11.178402°
E 11.250000°		 ← 153.401 km → S 11.178402°
E 12.656250°		 →
↑
153.022 km
↓
↑
153.022 km
↓
S 12.554564°
E 11.250000°		 ← 152.629 km →
23 415.8 km²		 S 12.554564°
E 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533203125 y=0.533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533203125 × 28)
    floor (0.533203125 × 256)
    floor (136.5)     		tx = 136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533203125 × 28)
    floor (0.533203125 × 256)
    floor (136.5)     		ty = 136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 136 / 136 ti = "8/136/136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/136/136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 136 ÷ 28
    136 ÷ 256     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 136 ÷ 28
    136 ÷ 256     		y = 0.53125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53125 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Φ = -0.19634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.19634954084375))-π/2
    2×atan(0.821724958038489)-π/2
    2×0.687848204496514-π/2
    1.37569640899303-1.57079632675     		φ = -0.19509992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19509992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.178402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 136 KachelY 136 0.19634954 -0.19509992 11.250000 -11.178402
    Oben rechts KachelX + 1 137 KachelY 136 0.22089323 -0.19509992 12.656250 -11.178402
    Unten links KachelX 136 KachelY + 1 137 0.19634954 -0.21911847 11.250000 -12.554564
    Unten rechts KachelX + 1 137 KachelY + 1 137 0.22089323 -0.21911847 12.656250 -12.554564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19509992--0.21911847) × R
    0.02401855 × 6371000     		dl = 153022.18205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19509992--0.21911847) × R
    0.02401855 × 6371000     		dr = 153022.18205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.22089323) × cos(-0.19509992) × R
    0.02454369 × 0.981028303500043 × 6371000     		do = 153401.285616611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.22089323) × cos(-0.21911847) × R
    0.02454369 × 0.976089446082766 × 6371000     		du = 152629.007105803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19509992)-sin(-0.21911847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981028303500043-0.976089446082766)×R²
    abs(0.22089323-0.19634954)×0.00493885741727706×R²
    0.02454369×0.00493885741727706×6371000²
    0.02454369×0.00493885741727706×40589641000000     		ar = 23415837292.0321m²