Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 137 / 135
↖ ↑ ↗
← S  9.795678°
E 12.656250°		 ← 154.088 km → S  9.795678°
E 14.062500°		 →
↑
153.752 km
↓
↑
153.752 km
↓
S 11.178402°
E 12.656250°		 ← 153.401 km →
23 639.7 km²		 S 11.178402°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537109375 y=0.529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537109375 × 28)
    floor (0.537109375 × 256)
    floor (137.5)     		tx = 137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529296875 × 28)
    floor (0.529296875 × 256)
    floor (135.5)     		ty = 135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 137 / 135 ti = "8/137/135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/137/135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 137 ÷ 28
    137 ÷ 256     		x = 0.53515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 135 ÷ 28
    135 ÷ 256     		y = 0.52734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53515625 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52734375 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.171805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22089323} λ = 0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171805848238281))-π/2
    2×atan(0.842142660778491)-π/2
    2×0.699914750257779-π/2
    1.39982950051556-1.57079632675     		φ = -0.17096683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17096683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.795678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 137 KachelY 135 0.22089323 -0.17096683 12.656250 -9.795678
    Oben rechts KachelX + 1 138 KachelY 135 0.24543693 -0.17096683 14.062500 -9.795678
    Unten links KachelX 137 KachelY + 1 136 0.22089323 -0.19509992 12.656250 -11.178402
    Unten rechts KachelX + 1 138 KachelY + 1 136 0.24543693 -0.19509992 14.062500 -11.178402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17096683--0.19509992) × R
    0.02413309 × 6371000     		dl = 153751.91639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17096683--0.19509992) × R
    0.02413309 × 6371000     		dr = 153751.91639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22089323-0.24543693) × cos(-0.17096683) × R
    0.0245437 × 0.9854207357218 × 6371000     		do = 154088.183576116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22089323-0.24543693) × cos(-0.19509992) × R
    0.0245437 × 0.981028303500043 × 6371000     		du = 153401.348117924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17096683)-sin(-0.19509992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9854207357218-0.981028303500043)×R²
    abs(0.24543693-0.22089323)×0.00439243222175745×R²
    0.0245437×0.00439243222175745×6371000²
    0.0245437×0.00439243222175745×40589641000000     		ar = 23639699720.3593m²