Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1376 / 1312
↖ ↑ ↗
← S 45.089036°
E 61.875000°		 ← 13.800 km → S 45.089036°
E 62.050781°		 →
↑
13.785 km
↓
↑
13.785 km
↓
S 45.213004°
E 61.875000°		 ← 13.770 km →
190.016 km²		 S 45.213004°
E 62.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.672119140625 y=0.640869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.672119140625 × 211)
    floor (0.672119140625 × 2048)
    floor (1376.5)     		tx = 1376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640869140625 × 211)
    floor (0.640869140625 × 2048)
    floor (1312.5)     		ty = 1312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1376 / 1312 ti = "11/1376/1312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1376/1312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1376 ÷ 211
    1376 ÷ 2048     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1312 ÷ 211
    1312 ÷ 2048     		y = 0.640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640625 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Φ = -0.883572933796875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883572933796875))-π/2
    2×atan(0.413303564177177)-π/2
    2×0.391922099828802-π/2
    0.783844199657604-1.57079632675     		φ = -0.78695213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78695213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.089036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1376 KachelY 1312 1.07992247 -0.78695213 61.875000 -45.089036
    Oben rechts KachelX + 1 1377 KachelY 1312 1.08299044 -0.78695213 62.050781 -45.089036
    Unten links KachelX 1376 KachelY + 1 1313 1.07992247 -0.78911578 61.875000 -45.213004
    Unten rechts KachelX + 1 1377 KachelY + 1 1313 1.08299044 -0.78911578 62.050781 -45.213004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78695213--0.78911578) × R
    0.00216365000000007 × 6371000     		dl = 13784.6141500005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78695213--0.78911578) × R
    0.00216365000000007 × 6371000     		dr = 13784.6141500005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.08299044) × cos(-0.78695213) × R
    0.00306797000000003 × 0.706007107541517 × 6371000     		do = 13799.6409544887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.08299044) × cos(-0.78911578) × R
    0.00306797000000003 × 0.70447314899197 × 6371000     		du = 13769.6581441222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78695213)-sin(-0.78911578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706007107541517-0.70447314899197)×R²
    abs(1.08299044-1.07992247)×0.0015339585495463×R²
    0.00306797000000003×0.0015339585495463×6371000²
    0.00306797000000003×0.0015339585495463×40589641000000     		ar = 190016149.358328m²