Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 139 / 137
↖ ↑ ↗
← S 12.554564°
E 15.468750°		 ← 152.629 km → S 12.554564°
E 16.875000°		 →
↑
152.208 km
↓
↑
152.208 km
↓
S 13.923404°
E 15.468750°		 ← 151.773 km →
23 167.4 km²		 S 13.923404°
E 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544921875 y=0.537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544921875 × 28)
    floor (0.544921875 × 256)
    floor (139.5)     		tx = 139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.537109375 × 28)
    floor (0.537109375 × 256)
    floor (137.5)     		ty = 137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 139 / 137 ti = "8/139/137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/139/137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 139 ÷ 28
    139 ÷ 256     		x = 0.54296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 137 ÷ 28
    137 ÷ 256     		y = 0.53515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54296875 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53515625 × 2 - 1) × π
    -0.0703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.220893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26998062} λ = 0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.220893233449219))-π/2
    2×atan(0.801802281384439)-π/2
    2×0.675838928538151-π/2
    1.3516778570763-1.57079632675     		φ = -0.21911847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21911847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.554564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 139 KachelY 137 0.26998062 -0.21911847 15.468750 -12.554564
    Oben rechts KachelX + 1 140 KachelY 137 0.29452431 -0.21911847 16.875000 -12.554564
    Unten links KachelX 139 KachelY + 1 138 0.26998062 -0.24300924 15.468750 -13.923404
    Unten rechts KachelX + 1 140 KachelY + 1 138 0.29452431 -0.24300924 16.875000 -13.923404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21911847--0.24300924) × R
    0.02389077 × 6371000     		dl = 152208.09567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21911847--0.24300924) × R
    0.02389077 × 6371000     		dr = 152208.09567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26998062-0.29452431) × cos(-0.21911847) × R
    0.02454369 × 0.976089446082766 × 6371000     		do = 152629.007105803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26998062-0.29452431) × cos(-0.24300924) × R
    0.02454369 × 0.970618273695534 × 6371000     		du = 151773.491648158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21911847)-sin(-0.24300924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976089446082766-0.970618273695534)×R²
    abs(0.29452431-0.26998062)×0.00547117238723227×R²
    0.02454369×0.00547117238723227×6371000²
    0.02454369×0.00547117238723227×40589641000000     		ar = 23167364270.9823m²