Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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8 / 139 / 141
↖ ↑ ↗
← S 17.978733°
E 15.468750°		 ← 148.733 km → S 17.978733°
E 16.875000°		 →
↑
148.157 km
↓
↑
148.157 km
↓
S 19.311143°
E 15.468750°		 ← 147.570 km →
21 950.7 km²		 S 19.311143°
E 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544921875 y=0.552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544921875 × 28)
    floor (0.544921875 × 256)
    floor (139.5)     		tx = 139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552734375 × 28)
    floor (0.552734375 × 256)
    floor (141.5)     		ty = 141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 139 / 141 ti = "8/139/141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/139/141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 139 ÷ 28
    139 ÷ 256     		x = 0.54296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 141 ÷ 28
    141 ÷ 256     		y = 0.55078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54296875 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55078125 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.319068003871094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26998062} λ = 0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.319068003871094))-π/2
    2×atan(0.726826120635872)-π/2
    2×0.628504119474422-π/2
    1.25700823894884-1.57079632675     		φ = -0.31378809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31378809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.978733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 139 KachelY 141 0.26998062 -0.31378809 15.468750 -17.978733
    Oben rechts KachelX + 1 140 KachelY 141 0.29452431 -0.31378809 16.875000 -17.978733
    Unten links KachelX 139 KachelY + 1 142 0.26998062 -0.33704303 15.468750 -19.311143
    Unten rechts KachelX + 1 140 KachelY + 1 142 0.29452431 -0.33704303 16.875000 -19.311143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31378809--0.33704303) × R
    0.02325494 × 6371000     		dl = 148157.22274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31378809--0.33704303) × R
    0.02325494 × 6371000     		dr = 148157.22274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26998062-0.29452431) × cos(-0.31378809) × R
    0.02454369 × 0.951171150272265 × 6371000     		do = 148732.586789418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26998062-0.29452431) × cos(-0.33704303) × R
    0.02454369 × 0.94373665385257 × 6371000     		du = 147570.070575947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31378809)-sin(-0.33704303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951171150272265-0.94373665385257)×R²
    abs(0.29452431-0.26998062)×0.00743449641969451×R²
    0.02454369×0.00743449641969451×6371000²
    0.02454369×0.00743449641969451×40589641000000     		ar = 21950678641.4958m²