Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14338 / 22530
↖ ↑ ↗
← S 55.788929°
W 22.478028°		 ← 686.86 m → S 55.788929°
W 22.467041°		 →
↑
686.79 m
↓
↑
686.79 m
↓
S 55.795106°
W 22.478028°		 ← 686.75 m →
471 693 m²		 S 55.795106°
W 22.467041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437576293945312 y=0.687576293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437576293945312 × 215)
    floor (0.437576293945312 × 32768)
    floor (14338.5)     		tx = 14338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687576293945312 × 215)
    floor (0.687576293945312 × 32768)
    floor (22530.5)     		ty = 22530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14338 / 22530 ti = "15/14338/22530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14338/22530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14338 ÷ 215
    14338 ÷ 32768     		x = 0.43756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22530 ÷ 215
    22530 ÷ 32768     		y = 0.68756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39231559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.3751220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17848074025946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39231559} λ = -0.39231559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17848074025946))-π/2
    2×atan(0.307745929620203)-π/2
    2×0.298547915203606-π/2
    0.597095830407213-1.57079632675     		φ = -0.97370050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39231559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.478028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97370050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.788929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14338 KachelY 22530 -0.39231559 -0.97370050 -22.478028 -55.788929
    Oben rechts KachelX + 1 14339 KachelY 22530 -0.39212384 -0.97370050 -22.467041 -55.788929
    Unten links KachelX 14338 KachelY + 1 22531 -0.39231559 -0.97380830 -22.478028 -55.795106
    Unten rechts KachelX + 1 14339 KachelY + 1 22531 -0.39212384 -0.97380830 -22.467041 -55.795106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97370050--0.97380830) × R
    0.000107799999999991 × 6371000     		dl = 686.793799999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97370050--0.97380830) × R
    0.000107799999999991 × 6371000     		dr = 686.793799999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39231559--0.39212384) × cos(-0.97370050) × R
    0.000191749999999991 × 0.562243178028038 × 6371000     		do = 686.858334323755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39231559--0.39212384) × cos(-0.97380830) × R
    0.000191749999999991 × 0.562154027184957 × 6371000     		du = 686.749424154677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97370050)-sin(-0.97380830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562243178028038-0.562154027184957)×R²
    abs(-0.39212384--0.39231559)×8.91508430806986e-05×R²
    0.000191749999999991×8.91508430806986e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.91508430806986e-05×40589641000000     		ar = 471692.646533862m²