Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1520 / 1520
↖ ↑ ↗
← S 65.366837°
E 87.187500°		 ← 8 146.90 m → S 65.366837°
E 87.363281°		 →
↑
8 135.51 m
↓
↑
8 135.51 m
↓
S 65.440002°
E 87.187500°		 ← 8 124.20 m →
66 186 882 m²		 S 65.440002°
E 87.363281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742431640625 y=0.742431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742431640625 × 211)
    floor (0.742431640625 × 2048)
    floor (1520.5)     		tx = 1520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742431640625 × 211)
    floor (0.742431640625 × 2048)
    floor (1520.5)     		ty = 1520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1520 / 1520 ti = "11/1520/1520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1520/1520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1520 ÷ 211
    1520 ÷ 2048     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1520 ÷ 211
    1520 ÷ 2048     		y = 0.7421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7421875 × 2 - 1) × π
    -0.484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52170894153906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52170894153906))-π/2
    2×atan(0.218338440313639)-π/2
    2×0.214964900714467-π/2
    0.429929801428934-1.57079632675     		φ = -1.14086653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14086653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.366837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1520 KachelY 1520 1.52170894 -1.14086653 87.187500 -65.366837
    Oben rechts KachelX + 1 1521 KachelY 1520 1.52477690 -1.14086653 87.363281 -65.366837
    Unten links KachelX 1520 KachelY + 1 1521 1.52170894 -1.14214349 87.187500 -65.440002
    Unten rechts KachelX + 1 1521 KachelY + 1 1521 1.52477690 -1.14214349 87.363281 -65.440002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14086653--1.14214349) × R
    0.00127695999999999 × 6371000     		dl = 8135.51215999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14086653--1.14214349) × R
    0.00127695999999999 × 6371000     		dr = 8135.51215999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.52477690) × cos(-1.14086653) × R
    0.00306796000000009 × 0.416806989093035 × 6371000     		do = 8146.89822171312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.52477690) × cos(-1.14214349) × R
    0.00306796000000009 × 0.415645899308277 × 6371000     		du = 8124.2035919439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14086653)-sin(-1.14214349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416806989093035-0.415645899308277)×R²
    abs(1.52477690-1.52170894)×0.00116108978475749×R²
    0.00306796000000009×0.00116108978475749×6371000²
    0.00306796000000009×0.00116108978475749×40589641000000     		ar = 66186882.3246551m²