Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1528 / 1528
↖ ↑ ↗
← S 65.946472°
E 88.593750°		 ← 7 966.77 m → S 65.946472°
E 88.769531°		 →
↑
7 955.60 m
↓
↑
7 955.60 m
↓
S 66.018018°
E 88.593750°		 ← 7 944.47 m →
63 291 707 m²		 S 66.018018°
E 88.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746337890625 y=0.746337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746337890625 × 211)
    floor (0.746337890625 × 2048)
    floor (1528.5)     		tx = 1528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746337890625 × 211)
    floor (0.746337890625 × 2048)
    floor (1528.5)     		ty = 1528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1528 / 1528 ti = "11/1528/1528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1528/1528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1528 ÷ 211
    1528 ÷ 2048     		x = 0.74609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1528 ÷ 211
    1528 ÷ 2048     		y = 0.74609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74609375 × 2 - 1) × π
    0.4921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54625263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74609375 × 2 - 1) × π
    -0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54625263} λ = 1.54625263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54625263414453))-π/2
    2×atan(0.213044836772739)-π/2
    2×0.209906632122725-π/2
    0.419813264245451-1.57079632675     		φ = -1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54625263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1528 KachelY 1528 1.54625263 -1.15098306 88.593750 -65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 1529 KachelY 1528 1.54932060 -1.15098306 88.769531 -65.946472
    Unten links KachelX 1528 KachelY + 1 1529 1.54625263 -1.15223178 88.593750 -66.018018
    Unten rechts KachelX + 1 1529 KachelY + 1 1529 1.54932060 -1.15223178 88.769531 -66.018018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15098306--1.15223178) × R
    0.00124871999999998 × 6371000     		dl = 7955.59511999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15098306--1.15223178) × R
    0.00124871999999998 × 6371000     		dr = 7955.59511999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54625263-1.54932060) × cos(-1.15098306) × R
    0.00306797000000003 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 7966.76803274704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54625263-1.54932060) × cos(-1.15223178) × R
    0.00306797000000003 × 0.406449336963359 × 6371000     		du = 7944.47372607295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15098306)-sin(-1.15223178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.406449336963359)×R²
    abs(1.54932060-1.54625263)×0.0011406049636743×R²
    0.00306797000000003×0.0011406049636743×6371000²
    0.00306797000000003×0.0011406049636743×40589641000000     		ar = 63291706.8690495m²