Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1538 / 1538
↖ ↑ ↗
← S 66.652977°
E 90.351563°		 ← 7 746.05 m → S 66.652977°
E 90.527344°		 →
↑
7 735.16 m
↓
↑
7 735.16 m
↓
S 66.722541°
E 90.351563°		 ← 7 724.26 m →
59 832 661 m²		 S 66.722541°
E 90.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751220703125 y=0.751220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751220703125 × 211)
    floor (0.751220703125 × 2048)
    floor (1538.5)     		tx = 1538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751220703125 × 211)
    floor (0.751220703125 × 2048)
    floor (1538.5)     		ty = 1538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1538 / 1538 ti = "11/1538/1538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1538/1538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1538 ÷ 211
    1538 ÷ 2048     		x = 0.7509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1538 ÷ 211
    1538 ÷ 2048     		y = 0.7509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7509765625 × 2 - 1) × π
    0.501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57693225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7509765625 × 2 - 1) × π
    -0.501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57693224990137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57693225} λ = 1.57693225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57693224990137))-π/2
    2×atan(0.206607948549754)-π/2
    2×0.203741207457871-π/2
    0.407482414915741-1.57079632675     		φ = -1.16331391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57693225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16331391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.652977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1538 KachelY 1538 1.57693225 -1.16331391 90.351563 -66.652977
    Oben rechts KachelX + 1 1539 KachelY 1538 1.58000021 -1.16331391 90.527344 -66.652977
    Unten links KachelX 1538 KachelY + 1 1539 1.57693225 -1.16452803 90.351563 -66.722541
    Unten rechts KachelX + 1 1539 KachelY + 1 1539 1.58000021 -1.16452803 90.527344 -66.722541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16331391--1.16452803) × R
    0.00121411999999999 × 6371000     		dl = 7735.15851999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16331391--1.16452803) × R
    0.00121411999999999 × 6371000     		dr = 7735.15851999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57693225-1.58000021) × cos(-1.16331391) × R
    0.00306795999999987 × 0.396299139205757 × 6371000     		do = 7746.0523382465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57693225-1.58000021) × cos(-1.16452803) × R
    0.00306795999999987 × 0.395184137778101 × 6371000     		du = 7724.25855026818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16331391)-sin(-1.16452803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396299139205757-0.395184137778101)×R²
    abs(1.58000021-1.57693225)×0.0011150014276558×R²
    0.00306795999999987×0.0011150014276558×6371000²
    0.00306795999999987×0.0011150014276558×40589641000000     		ar = 59832660.8880638m²