Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1540 / 1540
↖ ↑ ↗
← S 66.791909°
E 90.703125°		 ← 7 702.51 m → S 66.791909°
E 90.878906°		 →
↑
7 691.71 m
↓
↑
7 691.71 m
↓
S 66.861082°
E 90.703125°		 ← 7 680.82 m →
59 162 073 m²		 S 66.861082°
E 90.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752197265625 y=0.752197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752197265625 × 211)
    floor (0.752197265625 × 2048)
    floor (1540.5)     		tx = 1540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752197265625 × 211)
    floor (0.752197265625 × 2048)
    floor (1540.5)     		ty = 1540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1540 / 1540 ti = "11/1540/1540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1540/1540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1540 ÷ 211
    1540 ÷ 2048     		x = 0.751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1540 ÷ 211
    1540 ÷ 2048     		y = 0.751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751953125 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58306817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751953125 × 2 - 1) × π
    -0.50390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58306817305273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58306817} λ = 1.58306817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58306817305273))-π/2
    2×atan(0.20534409946071)-π/2
    2×0.202528796403796-π/2
    0.405057592807592-1.57079632675     		φ = -1.16573873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58306817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16573873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.791909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1540 KachelY 1540 1.58306817 -1.16573873 90.703125 -66.791909
    Oben rechts KachelX + 1 1541 KachelY 1540 1.58613613 -1.16573873 90.878906 -66.791909
    Unten links KachelX 1540 KachelY + 1 1541 1.58306817 -1.16694603 90.703125 -66.861082
    Unten rechts KachelX + 1 1541 KachelY + 1 1541 1.58613613 -1.16694603 90.878906 -66.861082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16573873--1.16694603) × R
    0.00120730000000013 × 6371000     		dl = 7691.70830000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16573873--1.16694603) × R
    0.00120730000000013 × 6371000     		dr = 7691.70830000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58306817-1.58613613) × cos(-1.16573873) × R
    0.00306796000000009 × 0.394071697069453 × 6371000     		do = 7702.5148140354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58306817-1.58613613) × cos(-1.16694603) × R
    0.00306796000000009 × 0.392961805221324 × 6371000     		du = 7680.82089776137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16573873)-sin(-1.16694603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394071697069453-0.392961805221324)×R²
    abs(1.58613613-1.58306817)×0.00110989184812882×R²
    0.00306796000000009×0.00110989184812882×6371000²
    0.00306796000000009×0.00110989184812882×40589641000000     		ar = 59162072.6741446m²