Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15424 / 15424
↖ ↑ ↗
← N 10.487812°
W 10.546875°		 ← 1 201.17 m → N 10.487812°
W 10.535889°		 →
↑
1 201.25 m
↓
↑
1 201.25 m
↓
N 10.477009°
W 10.546875°		 ← 1 201.21 m →
1 442 930 m²		 N 10.477009°
W 10.535889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470718383789062 y=0.470718383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470718383789062 × 215)
    floor (0.470718383789062 × 32768)
    floor (15424.5)     		tx = 15424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470718383789062 × 215)
    floor (0.470718383789062 × 32768)
    floor (15424.5)     		ty = 15424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15424 / 15424 ti = "15/15424/15424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15424/15424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15424 ÷ 215
    15424 ÷ 32768     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15424 ÷ 215
    15424 ÷ 32768     		y = 0.470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470703125 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.184077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.184077694541016))-π/2
    2×atan(1.20210921679201)-π/2
    2×0.876921587730698-π/2
    1.7538431754614-1.57079632675     		φ = 0.18304685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18304685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.487812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15424 KachelY 15424 -0.18407769 0.18304685 -10.546875 10.487812
    Oben rechts KachelX + 1 15425 KachelY 15424 -0.18388595 0.18304685 -10.535889 10.487812
    Unten links KachelX 15424 KachelY + 1 15425 -0.18407769 0.18285830 -10.546875 10.477009
    Unten rechts KachelX + 1 15425 KachelY + 1 15425 -0.18388595 0.18285830 -10.535889 10.477009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18304685-0.18285830) × R
    0.00018855000000001 × 6371000     		dl = 1201.25205000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18304685-0.18285830) × R
    0.00018855000000001 × 6371000     		dr = 1201.25205000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.18388595) × cos(0.18304685) × R
    0.000191739999999996 × 0.983293650724252 × 6371000     		do = 1201.16747236202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.18388595) × cos(0.18285830) × R
    0.000191739999999996 × 0.983327954316008 × 6371000     		du = 1201.20937679065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18304685)-sin(0.18285830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983293650724252-0.983327954316008)×R²
    abs(-0.18388595--0.18407769)×3.43035917560464e-05×R²
    0.000191739999999996×3.43035917560464e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.43035917560464e-05×40589641000000     		ar = 1442930.06173333m²