Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1543 / 1545
↖ ↑ ↗
← S 67.135829°
E 91.230469°		 ← 7 594.55 m → S 67.135829°
E 91.406250°		 →
↑
7 583.78 m
↓
↑
7 583.78 m
↓
S 67.204032°
E 91.230469°		 ← 7 573.10 m →
57 514 081 m²		 S 67.204032°
E 91.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753662109375 y=0.754638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753662109375 × 211)
    floor (0.753662109375 × 2048)
    floor (1543.5)     		tx = 1543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754638671875 × 211)
    floor (0.754638671875 × 2048)
    floor (1545.5)     		ty = 1545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1543 / 1545 ti = "11/1543/1545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1543/1545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1543 ÷ 211
    1543 ÷ 2048     		x = 0.75341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1545 ÷ 211
    1545 ÷ 2048     		y = 0.75439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75341796875 × 2 - 1) × π
    0.5068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.59227206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75439453125 × 2 - 1) × π
    -0.5087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59840798093115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59227206} λ = 1.59227206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59840798093115))-π/2
    2×atan(0.202218197092924)-π/2
    2×0.199527528990831-π/2
    0.399055057981662-1.57079632675     		φ = -1.17174127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59227206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17174127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.135829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1543 KachelY 1545 1.59227206 -1.17174127 91.230469 -67.135829
    Oben rechts KachelX + 1 1544 KachelY 1545 1.59534002 -1.17174127 91.406250 -67.135829
    Unten links KachelX 1543 KachelY + 1 1546 1.59227206 -1.17293163 91.230469 -67.204032
    Unten rechts KachelX + 1 1544 KachelY + 1 1546 1.59534002 -1.17293163 91.406250 -67.204032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17174127--1.17293163) × R
    0.00119035999999983 × 6371000     		dl = 7583.78355999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17174127--1.17293163) × R
    0.00119035999999983 × 6371000     		dr = 7583.78355999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59227206-1.59534002) × cos(-1.17174127) × R
    0.00306796000000009 × 0.388547818251162 × 6371000     		do = 7594.545226914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59227206-1.59534002) × cos(-1.17293163) × R
    0.00306796000000009 × 0.387450711530649 × 6371000     		du = 7573.1012084012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17174127)-sin(-1.17293163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388547818251162-0.387450711530649)×R²
    abs(1.59534002-1.59227206)×0.001097106720513×R²
    0.00306796000000009×0.001097106720513×6371000²
    0.00306796000000009×0.001097106720513×40589641000000     		ar = 57514080.631248m²