Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1552 / 1552
↖ ↑ ↗
← S 67.609220°
E 92.812500°		 ← 7 445.48 m → S 67.609220°
E 92.988281°		 →
↑
7 434.96 m
↓
↑
7 434.96 m
↓
S 67.676085°
E 92.812500°		 ← 7 424.39 m →
55 278 431 m²		 S 67.676085°
E 92.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758056640625 y=0.758056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758056640625 × 211)
    floor (0.758056640625 × 2048)
    floor (1552.5)     		tx = 1552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758056640625 × 211)
    floor (0.758056640625 × 2048)
    floor (1552.5)     		ty = 1552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1552 / 1552 ti = "11/1552/1552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1552/1552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1552 ÷ 211
    1552 ÷ 2048     		x = 0.7578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1552 ÷ 211
    1552 ÷ 2048     		y = 0.7578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7578125 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61988371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7578125 × 2 - 1) × π
    -0.515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61988371196094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61988371} λ = 1.61988371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61988371196094))-π/2
    2×atan(0.197921713673399)-π/2
    2×0.195396411274361-π/2
    0.390792822548722-1.57079632675     		φ = -1.18000350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61988371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18000350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.609220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1552 KachelY 1552 1.61988371 -1.18000350 92.812500 -67.609220
    Oben rechts KachelX + 1 1553 KachelY 1552 1.62295167 -1.18000350 92.988281 -67.609220
    Unten links KachelX 1552 KachelY + 1 1553 1.61988371 -1.18117050 92.812500 -67.676085
    Unten rechts KachelX + 1 1553 KachelY + 1 1553 1.62295167 -1.18117050 92.988281 -67.676085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18000350--1.18117050) × R
    0.00116699999999992 × 6371000     		dl = 7434.95699999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18000350--1.18117050) × R
    0.00116699999999992 × 6371000     		dr = 7434.95699999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61988371-1.62295167) × cos(-1.18000350) × R
    0.00306795999999987 × 0.380921588243505 × 6371000     		do = 7445.48313987181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61988371-1.62295167) × cos(-1.18117050) × R
    0.00306795999999987 × 0.37984231232963 × 6371000     		du = 7424.38764182697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18000350)-sin(-1.18117050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380921588243505-0.37984231232963)×R²
    abs(1.62295167-1.61988371)×0.00107927591387508×R²
    0.00306795999999987×0.00107927591387508×6371000²
    0.00306795999999987×0.00107927591387508×40589641000000     		ar = 55278431.2023249m²