Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1554 / 1554
↖ ↑ ↗
← S 67.742759°
E 93.164063°		 ← 7 403.34 m → S 67.742759°
E 93.339844°		 →
↑
7 392.84 m
↓
↑
7 392.84 m
↓
S 67.809245°
E 93.164063°		 ← 7 382.35 m →
54 654 153 m²		 S 67.809245°
E 93.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759033203125 y=0.759033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759033203125 × 211)
    floor (0.759033203125 × 2048)
    floor (1554.5)     		tx = 1554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759033203125 × 211)
    floor (0.759033203125 × 2048)
    floor (1554.5)     		ty = 1554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1554 / 1554 ti = "11/1554/1554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1554/1554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1554 ÷ 211
    1554 ÷ 2048     		x = 0.7587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1554 ÷ 211
    1554 ÷ 2048     		y = 0.7587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7587890625 × 2 - 1) × π
    0.517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62601964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7587890625 × 2 - 1) × π
    -0.517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6260196351123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62601964} λ = 1.62601964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6260196351123))-π/2
    2×atan(0.196710999471531)-π/2
    2×0.194231068356987-π/2
    0.388462136713974-1.57079632675     		φ = -1.18233419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62601964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18233419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.742759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1554 KachelY 1554 1.62601964 -1.18233419 93.164063 -67.742759
    Oben rechts KachelX + 1 1555 KachelY 1554 1.62908760 -1.18233419 93.339844 -67.742759
    Unten links KachelX 1554 KachelY + 1 1555 1.62601964 -1.18349458 93.164063 -67.809245
    Unten rechts KachelX + 1 1555 KachelY + 1 1555 1.62908760 -1.18349458 93.339844 -67.809245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18233419--1.18349458) × R
    0.00116039000000012 × 6371000     		dl = 7392.84469000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18233419--1.18349458) × R
    0.00116039000000012 × 6371000     		dr = 7392.84469000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62601964-1.62908760) × cos(-1.18233419) × R
    0.00306796000000009 × 0.378765582495472 × 6371000     		do = 7403.34190938849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62601964-1.62908760) × cos(-1.18349458) × R
    0.00306796000000009 × 0.377691395322837 × 6371000     		du = 7382.34587574334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18233419)-sin(-1.18349458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378765582495472-0.377691395322837)×R²
    abs(1.62908760-1.62601964)×0.00107418717263535×R²
    0.00306796000000009×0.00107418717263535×6371000²
    0.00306796000000009×0.00107418717263535×40589641000000     		ar = 54654152.8478312m²