Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 156 / 140
↖ ↑ ↗
← S 16.636192°
E 39.375000°		 ← 149.823 km → S 16.636192°
E 40.781250°		 →
↑
149.284 km
↓
↑
149.284 km
↓
S 17.978733°
E 39.375000°		 ← 148.733 km →
22 285.8 km²		 S 17.978733°
E 40.781250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611328125 y=0.548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611328125 × 28)
    floor (0.611328125 × 256)
    floor (156.5)     		tx = 156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548828125 × 28)
    floor (0.548828125 × 256)
    floor (140.5)     		ty = 140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 156 / 140 ti = "8/156/140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/156/140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 156 ÷ 28
    156 ÷ 256     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 140 ÷ 28
    140 ÷ 256     		y = 0.546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546875 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Φ = -0.294524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294524311265625))-π/2
    2×atan(0.74488583700403)-π/2
    2×0.640220001765692-π/2
    1.28044000353138-1.57079632675     		φ = -0.29035632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29035632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.636192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 156 KachelY 140 0.68722339 -0.29035632 39.375000 -16.636192
    Oben rechts KachelX + 1 157 KachelY 140 0.71176709 -0.29035632 40.781250 -16.636192
    Unten links KachelX 156 KachelY + 1 141 0.68722339 -0.31378809 39.375000 -17.978733
    Unten rechts KachelX + 1 157 KachelY + 1 141 0.71176709 -0.31378809 40.781250 -17.978733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29035632--0.31378809) × R
    0.02343177 × 6371000     		dl = 149283.80667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29035632--0.31378809) × R
    0.02343177 × 6371000     		dr = 149283.80667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.71176709) × cos(-0.29035632) × R
    0.0245437000000001 × 0.958141924186794 × 6371000     		do = 149822.652755451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.71176709) × cos(-0.31378809) × R
    0.0245437000000001 × 0.951171150272265 × 6371000     		du = 148732.647388532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29035632)-sin(-0.31378809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958141924186794-0.951171150272265)×R²
    abs(0.71176709-0.68722339)×0.0069707739145296×R²
    0.0245437000000001×0.0069707739145296×6371000²
    0.0245437000000001×0.0069707739145296×40589641000000     		ar = 22285755525.0011m²