Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15904 / 17952
↖ ↑ ↗
← S 16.972741°
W  5.273438°		 ← 1 168.43 m → S 16.972741°
W  5.262451°		 →
↑
1 168.38 m
↓
↑
1 168.38 m
↓
S 16.983248°
W  5.273438°		 ← 1 168.36 m →
1 365 128 m²		 S 16.983248°
W  5.262451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485366821289062 y=0.547866821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485366821289062 × 215)
    floor (0.485366821289062 × 32768)
    floor (15904.5)     		tx = 15904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547866821289062 × 215)
    floor (0.547866821289062 × 32768)
    floor (17952.5)     		ty = 17952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15904 / 17952 ti = "15/15904/17952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15904/17952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15904 ÷ 215
    15904 ÷ 32768     		x = 0.4853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17952 ÷ 215
    17952 ÷ 32768     		y = 0.5478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4853515625 × 2 - 1) × π
    -0.029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09203885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5478515625 × 2 - 1) × π
    -0.095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.300660234416992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09203885} λ = -0.09203885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.300660234416992))-π/2
    2×atan(0.740329268425005)-π/2
    2×0.637283056457916-π/2
    1.27456611291583-1.57079632675     		φ = -0.29623021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09203885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.273438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29623021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.972741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15904 KachelY 17952 -0.09203885 -0.29623021 -5.273438 -16.972741
    Oben rechts KachelX + 1 15905 KachelY 17952 -0.09184710 -0.29623021 -5.262451 -16.972741
    Unten links KachelX 15904 KachelY + 1 17953 -0.09203885 -0.29641360 -5.273438 -16.983248
    Unten rechts KachelX + 1 15905 KachelY + 1 17953 -0.09184710 -0.29641360 -5.262451 -16.983248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29623021--0.29641360) × R
    0.000183390000000005 × 6371000     		dl = 1168.37769000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29623021--0.29641360) × R
    0.000183390000000005 × 6371000     		dr = 1168.37769000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09203885--0.09184710) × cos(-0.29623021) × R
    0.000191750000000004 × 0.956443747320158 × 6371000     		do = 1168.42922214341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09203885--0.09184710) × cos(-0.29641360) × R
    0.000191750000000004 × 0.956390196633819 × 6371000     		du = 1168.36380252312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29623021)-sin(-0.29641360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956443747320158-0.956390196633819)×R²
    abs(-0.09184710--0.09203885)×5.35506863397206e-05×R²
    0.000191750000000004×5.35506863397206e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.35506863397206e-05×40589641000000     		ar = 1365128.42190982m²