Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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5 / 16 / 14
↖ ↑ ↗
← N 21.943045°
E  0.000000°		 ← 1 160.319 km → N 21.943045°
E 11.250000°		 →
↑
1 196.974 km
↓
↑
1 196.974 km
↓
N 11.178402°
E  0.000000°		 ← 1 227.210 km →
1 433 123 km²		 N 11.178402°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515625 y=0.453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515625 × 25)
    floor (0.515625 × 32)
    floor (16.5)     		tx = 16
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453125 × 25)
    floor (0.453125 × 32)
    floor (14.5)     		ty = 14
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 16 / 14 ti = "5/16/14"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/16/14.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16 ÷ 25
    16 ÷ 32     		x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14 ÷ 25
    14 ÷ 32     		y = 0.4375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4375 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3926990816875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3926990816875))-π/2
    2×atan(1.48097267047329)-π/2
    2×0.976887359629009-π/2
    1.95377471925802-1.57079632675     		φ = 0.38297839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38297839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.943045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16 KachelY 14 0.00000000 0.38297839 0.000000 21.943045
    Oben rechts KachelX + 1 17 KachelY 14 0.19634954 0.38297839 11.250000 21.943045
    Unten links KachelX 16 KachelY + 1 15 0.00000000 0.19509992 0.000000 11.178402
    Unten rechts KachelX + 1 17 KachelY + 1 15 0.19634954 0.19509992 11.250000 11.178402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38297839-0.19509992) × R
    0.18787847 × 6371000     		dl = 1196973.73237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38297839-0.19509992) × R
    0.18787847 × 6371000     		dr = 1196973.73237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-0.19634954) × cos(0.38297839) × R
    0.19634954 × 0.927555772393619 × 6371000     		do = 1160319.32576874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-0.19634954) × cos(0.19509992) × R
    0.19634954 × 0.981028303500043 × 6371000     		du = 1227210.40993551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38297839)-sin(0.19509992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927555772393619-0.981028303500043)×R²
    abs(0.19634954-0.00000000)×0.0534725311064236×R²
    0.19634954×0.0534725311064236×6371000²
    0.19634954×0.0534725311064236×40589641000000     		ar = 1433123241744.93m²