Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
5 / 16 / 16
N  0.000000°
E  0.000000°
← 1 250.943 km → N  0.000000°
E 11.250000°

1 242.982 km

1 242.982 km
S 11.178402°
E  0.000000°
← 1 227.210 km →
1 545 054 km²
S 11.178402°
E 11.250000°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515625 y=0.515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515625 × 25)
    floor (0.515625 × 32)
    floor (16.5)
    tx = 16
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515625 × 25)
    floor (0.515625 × 32)
    floor (16.5)
    ty = 16
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 16 / 16 ti = "5/16/16"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/16/16.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16 ÷ 25
    16 ÷ 32
    x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16 ÷ 25
    16 ÷ 32
    y = 0.5
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535
    Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535
    Φ = 0
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0))-π/2
    2×atan(1)-π/2
    2×0.785398163397448-π/2
    1.5707963267949-1.57079632675
    φ = 0.00000000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00000000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.000000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16 KachelY 16 0.00000000 0.00000000 0.000000 0.000000
    Oben rechts KachelX + 1 17 KachelY 16 0.19634954 0.00000000 11.250000 0.000000
    Unten links KachelX 16 KachelY + 1 17 0.00000000 -0.19509992 0.000000 -11.178402
    Unten rechts KachelX + 1 17 KachelY + 1 17 0.19634954 -0.19509992 11.250000 -11.178402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.00000000--0.19509992) × R
    0.19509992 × 6371000
    dl = 1242981.59032m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.00000000--0.19509992) × R
    0.19509992 × 6371000
    dr = 1242981.59032m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-0.19634954) × cos(0.00000000) × R
    0.19634954 × 1 × 6371000
    do = 1250942.91934m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-0.19634954) × cos(-0.19509992) × R
    0.19634954 × 0.981028303500043 × 6371000
    du = 1227210.40993551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.00000000)-sin(-0.19509992))×
    abs(λ12)×abs(1-0.981028303500043)×
    abs(0.19634954-0.00000000)×0.0189716964999571×
    0.19634954×0.0189716964999571×6371000²
    0.19634954×0.0189716964999571×40589641000000
    ar = 1545053502070.85m²