Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16144 / 16144
↖ ↑ ↗
← N  2.635789°
W  2.636719°		 ← 1 220.28 m → N  2.635789°
W  2.625733°		 →
↑
1 220.37 m
↓
↑
1 220.37 m
↓
N  2.624814°
W  2.636719°		 ← 1 220.29 m →
1 489 197 m²		 N  2.624814°
W  2.625733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492691040039062 y=0.492691040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492691040039062 × 215)
    floor (0.492691040039062 × 32768)
    floor (16144.5)     		tx = 16144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492691040039062 × 215)
    floor (0.492691040039062 × 32768)
    floor (16144.5)     		ty = 16144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16144 / 16144 ti = "15/16144/16144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16144/16144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16144 ÷ 215
    16144 ÷ 32768     		x = 0.49267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16144 ÷ 215
    16144 ÷ 32768     		y = 0.49267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49267578125 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04601942} λ = -0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0460194236352539))-π/2
    2×atan(1.0470947491459)-π/2
    2×0.808399757899618-π/2
    1.61679951579924-1.57079632675     		φ = 0.04600319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04600319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.635789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16144 KachelY 16144 -0.04601942 0.04600319 -2.636719 2.635789
    Oben rechts KachelX + 1 16145 KachelY 16144 -0.04582768 0.04600319 -2.625733 2.635789
    Unten links KachelX 16144 KachelY + 1 16145 -0.04601942 0.04581164 -2.636719 2.624814
    Unten rechts KachelX + 1 16145 KachelY + 1 16145 -0.04582768 0.04581164 -2.625733 2.624814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04600319-0.04581164) × R
    0.000191549999999999 × 6371000     		dl = 1220.36504999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04600319-0.04581164) × R
    0.000191549999999999 × 6371000     		dr = 1220.36504999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04601942--0.04582768) × cos(0.04600319) × R
    0.000191739999999996 × 0.998942039854171 × 6371000     		do = 1220.28316176353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04601942--0.04582768) × cos(0.04581164) × R
    0.000191739999999996 × 0.9989508303311 × 6371000     		du = 1220.29389999513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04600319)-sin(0.04581164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998942039854171-0.9989508303311)×R²
    abs(-0.04582768--0.04601942)×8.79047692892154e-06×R²
    0.000191739999999996×8.79047692892154e-06×6371000²
    0.000191739999999996×8.79047692892154e-06×40589641000000     		ar = 1489197.47855438m²