Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16258 / 16770
↖ ↑ ↗
← S  4.236856°
W  1.384277°		 ← 1 218.30 m → S  4.236856°
W  1.373291°		 →
↑
1 218.26 m
↓
↑
1 218.26 m
↓
S  4.247812°
W  1.384277°		 ← 1 218.28 m →
1 484 200 m²		 S  4.247812°
W  1.373291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496170043945312 y=0.511795043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496170043945312 × 215)
    floor (0.496170043945312 × 32768)
    floor (16258.5)     		tx = 16258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511795043945312 × 215)
    floor (0.511795043945312 × 32768)
    floor (16770.5)     		ty = 16770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16258 / 16770 ti = "15/16258/16770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16258/16770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16258 ÷ 215
    16258 ÷ 32768     		x = 0.49615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16770 ÷ 215
    16770 ÷ 32768     		y = 0.51177978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.0076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02416020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51177978515625 × 2 - 1) × π
    -0.0235595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0740145730133667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02416020} λ = -0.02416020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0740145730133667))-π/2
    2×atan(0.928658160394891)-π/2
    2×0.748424619310482-π/2
    1.49684923862096-1.57079632675     		φ = -0.07394709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02416020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07394709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.236856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16258 KachelY 16770 -0.02416020 -0.07394709 -1.384277 -4.236856
    Oben rechts KachelX + 1 16259 KachelY 16770 -0.02396845 -0.07394709 -1.373291 -4.236856
    Unten links KachelX 16258 KachelY + 1 16771 -0.02416020 -0.07413831 -1.384277 -4.247812
    Unten rechts KachelX + 1 16259 KachelY + 1 16771 -0.02396845 -0.07413831 -1.373291 -4.247812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07394709--0.07413831) × R
    0.000191220000000006 × 6371000     		dl = 1218.26262000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07394709--0.07413831) × R
    0.000191220000000006 × 6371000     		dr = 1218.26262000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02416020--0.02396845) × cos(-0.07394709) × R
    0.000191750000000001 × 0.997267159584297 × 6371000     		do = 1218.3007048842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02416020--0.02396845) × cos(-0.07413831) × R
    0.000191750000000001 × 0.997253014072537 × 6371000     		du = 1218.28342417182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07394709)-sin(-0.07413831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997267159584297-0.997253014072537)×R²
    abs(-0.02396845--0.02416020)×1.41455117603773e-05×R²
    0.000191750000000001×1.41455117603773e-05×6371000²
    0.000191750000000001×1.41455117603773e-05×40589641000000     		ar = 1484199.68697954m²