Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16370 / 16434
↖ ↑ ↗
← S  0.549308°
W  0.153809°		 ← 1 221.58 m → S  0.549308°
W  0.142822°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
S  0.560294°
W  0.153809°		 ← 1 221.58 m →
1 492 255 m²		 S  0.560294°
W  0.142822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499588012695312 y=0.501541137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499588012695312 × 215)
    floor (0.499588012695312 × 32768)
    floor (16370.5)     		tx = 16370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501541137695312 × 215)
    floor (0.501541137695312 × 32768)
    floor (16434.5)     		ty = 16434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16370 / 16434 ti = "15/16370/16434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16370/16434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16370 ÷ 215
    16370 ÷ 32768     		x = 0.49957275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16434 ÷ 215
    16434 ÷ 32768     		y = 0.50152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.0008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00268447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50152587890625 × 2 - 1) × π
    -0.0030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00958737992401123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00268447} λ = -0.00268447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00958737992401123))-π/2
    2×atan(0.990458432479025)-π/2
    2×0.780604546871371-π/2
    1.56120909374274-1.57079632675     		φ = -0.00958723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00268447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.153809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00958723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.549308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16370 KachelY 16434 -0.00268447 -0.00958723 -0.153809 -0.549308
    Oben rechts KachelX + 1 16371 KachelY 16434 -0.00249272 -0.00958723 -0.142822 -0.549308
    Unten links KachelX 16370 KachelY + 1 16435 -0.00268447 -0.00977897 -0.153809 -0.560294
    Unten rechts KachelX + 1 16371 KachelY + 1 16435 -0.00249272 -0.00977897 -0.142822 -0.560294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00958723--0.00977897) × R
    0.000191739999999999 × 6371000     		dl = 1221.57554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00958723--0.00977897) × R
    0.000191739999999999 × 6371000     		dr = 1221.57554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00268447--0.00249272) × cos(-0.00958723) × R
    0.00019175 × 0.999954042862478 × 6371000     		do = 1221.58310695699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00268447--0.00249272) × cos(-0.00977897) × R
    0.00019175 × 0.9999521862539 × 6371000     		du = 1221.58083885108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00958723)-sin(-0.00977897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999954042862478-0.9999521862539)×R²
    abs(-0.00249272--0.00268447)×1.85660857743297e-06×R²
    0.00019175×1.85660857743297e-06×6371000²
    0.00019175×1.85660857743297e-06×40589641000000     		ar = 1492254.6627763m²