Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16372 / 16436
↖ ↑ ↗
← S  0.571280°
W  0.131836°		 ← 1 221.58 m → S  0.571280°
W  0.120849°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
S  0.582265°
W  0.131836°		 ← 1 221.58 m →
1 492 249 m²		 S  0.582265°
W  0.120849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499649047851562 y=0.501602172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499649047851562 × 215)
    floor (0.499649047851562 × 32768)
    floor (16372.5)     		tx = 16372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501602172851562 × 215)
    floor (0.501602172851562 × 32768)
    floor (16436.5)     		ty = 16436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16372 / 16436 ti = "15/16372/16436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16372/16436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16372 ÷ 215
    16372 ÷ 32768     		x = 0.4996337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16436 ÷ 215
    16436 ÷ 32768     		y = 0.5015869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00230097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5015869140625 × 2 - 1) × π
    -0.003173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00997087512097168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00230097} λ = -0.00230097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00997087512097168))-π/2
    2×atan(0.990078669250721)-π/2
    2×0.780412808442239-π/2
    1.56082561688448-1.57079632675     		φ = -0.00997071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00230097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00997071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.571280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16372 KachelY 16436 -0.00230097 -0.00997071 -0.131836 -0.571280
    Oben rechts KachelX + 1 16373 KachelY 16436 -0.00210922 -0.00997071 -0.120849 -0.571280
    Unten links KachelX 16372 KachelY + 1 16437 -0.00230097 -0.01016245 -0.131836 -0.582265
    Unten rechts KachelX + 1 16373 KachelY + 1 16437 -0.00210922 -0.01016245 -0.120849 -0.582265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00997071--0.01016245) × R
    0.000191739999999999 × 6371000     		dl = 1221.57554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00997071--0.01016245) × R
    0.000191739999999999 × 6371000     		dr = 1221.57554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00230097--0.00210922) × cos(-0.00997071) × R
    0.00019175 × 0.999950292882853 × 6371000     		do = 1221.57852583469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00230097--0.00210922) × cos(-0.01016245) × R
    0.00019175 × 0.999948362749406 × 6371000     		du = 1221.57616790791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00997071)-sin(-0.01016245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999950292882853-0.999948362749406)×R²
    abs(-0.00210922--0.00230097)×1.93013344718107e-06×R²
    0.00019175×1.93013344718107e-06×6371000²
    0.00019175×1.93013344718107e-06×40589641000000     		ar = 1492249.01172785m²