Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16377 / 16409
↖ ↑ ↗
← S  0.274657°
W  0.076904°		 ← 1 221.56 m → S  0.274657°
W  0.065918°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
S  0.285644°
W  0.076904°		 ← 1 221.56 m →
1 492 307 m²		 S  0.285644°
W  0.065918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499801635742188 y=0.500778198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499801635742188 × 215)
    floor (0.499801635742188 × 32768)
    floor (16377.5)     		tx = 16377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500778198242188 × 215)
    floor (0.500778198242188 × 32768)
    floor (16409.5)     		ty = 16409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16377 / 16409 ti = "15/16377/16409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16377/16409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16377 ÷ 215
    16377 ÷ 32768     		x = 0.499786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16409 ÷ 215
    16409 ÷ 32768     		y = 0.500762939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.00042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00134223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500762939453125 × 2 - 1) × π
    -0.00152587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00479368996200562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00134223} λ = -0.00134223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00479368996200562))-π/2
    2×atan(0.995217781432298)-π/2
    2×0.783001327596095-π/2
    1.56600265519219-1.57079632675     		φ = -0.00479367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00134223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.076904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00479367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.274657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16377 KachelY 16409 -0.00134223 -0.00479367 -0.076904 -0.274657
    Oben rechts KachelX + 1 16378 KachelY 16409 -0.00115049 -0.00479367 -0.065918 -0.274657
    Unten links KachelX 16377 KachelY + 1 16410 -0.00134223 -0.00498542 -0.076904 -0.285644
    Unten rechts KachelX + 1 16378 KachelY + 1 16410 -0.00115049 -0.00498542 -0.065918 -0.285644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00479367--0.00498542) × R
    0.00019175 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00479367--0.00498542) × R
    0.00019175 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00134223--0.00115049) × cos(-0.00479367) × R
    0.00019174 × 0.999988510385967 × 6371000     		do = 1221.56150456853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00134223--0.00115049) × cos(-0.00498542) × R
    0.00019174 × 0.999987572819451 × 6371000     		du = 1221.56035926021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00479367)-sin(-0.00498542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999988510385967-0.999987572819451)×R²
    abs(-0.00115049--0.00134223)×9.37566516423516e-07×R²
    0.00019174×9.37566516423516e-07×6371000²
    0.00019174×9.37566516423516e-07×40589641000000     		ar = 1492306.78526561m²