Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16392 / 16424
↖ ↑ ↗
← S  0.439449°
E  0.087891°		 ← 1 221.60 m → S  0.439449°
E  0.098877°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
S  0.450435°
E  0.087891°		 ← 1 221.60 m →
1 492 280 m²		 S  0.450435°
E  0.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500259399414062 y=0.501235961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500259399414062 × 215)
    floor (0.500259399414062 × 32768)
    floor (16392.5)     		tx = 16392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501235961914062 × 215)
    floor (0.501235961914062 × 32768)
    floor (16424.5)     		ty = 16424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16392 / 16424 ti = "15/16392/16424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16392/16424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16392 ÷ 215
    16392 ÷ 32768     		x = 0.500244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16424 ÷ 215
    16424 ÷ 32768     		y = 0.501220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500244140625 × 2 - 1) × π
    0.00048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00153398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501220703125 × 2 - 1) × π
    -0.00244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00766990393920898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00153398} λ = 0.00153398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00766990393920898))-π/2
    2×atan(0.992359434717865)-π/2
    2×0.78156324902735-π/2
    1.5631264980547-1.57079632675     		φ = -0.00766983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00153398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00766983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.439449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16392 KachelY 16424 0.00153398 -0.00766983 0.087891 -0.439449
    Oben rechts KachelX + 1 16393 KachelY 16424 0.00172573 -0.00766983 0.098877 -0.439449
    Unten links KachelX 16392 KachelY + 1 16425 0.00153398 -0.00786157 0.087891 -0.450435
    Unten rechts KachelX + 1 16393 KachelY + 1 16425 0.00172573 -0.00786157 0.098877 -0.450435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00766983--0.00786157) × R
    0.00019174 × 6371000     		dl = 1221.57554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00766983--0.00786157) × R
    0.00019174 × 6371000     		dr = 1221.57554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00153398-0.00172573) × cos(-0.00766983) × R
    0.00019175 × 0.999970586998074 × 6371000     		do = 1221.60331792239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00153398-0.00172573) × cos(-0.00786157) × R
    0.00019175 × 0.999969098017724 × 6371000     		du = 1221.60149892555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00766983)-sin(-0.00786157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999970586998074-0.999969098017724)×R²
    abs(0.00172573-0.00153398)×1.4889803499063e-06×R²
    0.00019175×1.4889803499063e-06×6371000²
    0.00019175×1.4889803499063e-06×40589641000000     		ar = 1492279.62630769m²