Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16398 / 16406
↖ ↑ ↗
← S  0.241698°
E  0.153809°		 ← 1 221.56 m → S  0.241698°
E  0.164795°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
S  0.252685°
E  0.153809°		 ← 1 221.56 m →
1 492 311 m²		 S  0.252685°
E  0.164795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500442504882812 y=0.500686645507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500442504882812 × 215)
    floor (0.500442504882812 × 32768)
    floor (16398.5)     		tx = 16398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500686645507812 × 215)
    floor (0.500686645507812 × 32768)
    floor (16406.5)     		ty = 16406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16398 / 16406 ti = "15/16398/16406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16398/16406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16398 ÷ 215
    16398 ÷ 32768     		x = 0.50042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16406 ÷ 215
    16406 ÷ 32768     		y = 0.50067138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50042724609375 × 2 - 1) × π
    0.0008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00268447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50067138671875 × 2 - 1) × π
    -0.0013427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00421844716656494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00268447} λ = 0.00268447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00421844716656494))-π/2
    2×atan(0.995790437983447)-π/2
    2×0.783288946069848-π/2
    1.5665778921397-1.57079632675     		φ = -0.00421843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00268447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.153809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00421843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.241698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16398 KachelY 16406 0.00268447 -0.00421843 0.153809 -0.241698
    Oben rechts KachelX + 1 16399 KachelY 16406 0.00287621 -0.00421843 0.164795 -0.241698
    Unten links KachelX 16398 KachelY + 1 16407 0.00268447 -0.00441018 0.153809 -0.252685
    Unten rechts KachelX + 1 16399 KachelY + 1 16407 0.00287621 -0.00441018 0.164795 -0.252685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00421843--0.00441018) × R
    0.00019175 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00421843--0.00441018) × R
    0.00019175 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00268447-0.00287621) × cos(-0.00421843) × R
    0.00019174 × 0.999991102437362 × 6371000     		do = 1221.56467095512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00268447-0.00287621) × cos(-0.00441018) × R
    0.00019174 × 0.999990275171946 × 6371000     		du = 1221.56366038792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00421843)-sin(-0.00441018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999991102437362-0.999990275171946)×R²
    abs(0.00287621-0.00268447)×8.27265416059042e-07×R²
    0.00019174×8.27265416059042e-07×6371000²
    0.00019174×8.27265416059042e-07×40589641000000     		ar = 1492310.73575028m²