Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16420 / 16412
↖ ↑ ↗
← S  0.307616°
E  0.395508°		 ← 1 221.62 m → S  0.307616°
E  0.406494°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
S  0.318602°
E  0.395508°		 ← 1 221.62 m →
1 492 302 m²		 S  0.318602°
E  0.406494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501113891601562 y=0.500869750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501113891601562 × 215)
    floor (0.501113891601562 × 32768)
    floor (16420.5)     		tx = 16420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500869750976562 × 215)
    floor (0.500869750976562 × 32768)
    floor (16412.5)     		ty = 16412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16420 / 16412 ti = "15/16420/16412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16420/16412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16420 ÷ 215
    16420 ÷ 32768     		x = 0.5010986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16412 ÷ 215
    16412 ÷ 32768     		y = 0.5008544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5010986328125 × 2 - 1) × π
    0.002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00690291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5008544921875 × 2 - 1) × π
    -0.001708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00690291} λ = 0.00690291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00536893275744629))-π/2
    2×atan(0.994645454202974)-π/2
    2×0.782713709915453-π/2
    1.56542741983091-1.57079632675     		φ = -0.00536891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00690291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00536891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.307616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16420 KachelY 16412 0.00690291 -0.00536891 0.395508 -0.307616
    Oben rechts KachelX + 1 16421 KachelY 16412 0.00709466 -0.00536891 0.406494 -0.307616
    Unten links KachelX 16420 KachelY + 1 16413 0.00690291 -0.00556065 0.395508 -0.318602
    Unten rechts KachelX + 1 16421 KachelY + 1 16413 0.00709466 -0.00556065 0.406494 -0.318602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00536891--0.00556065) × R
    0.00019174 × 6371000     		dl = 1221.57554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00536891--0.00556065) × R
    0.00019174 × 6371000     		dr = 1221.57554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00690291-0.00709466) × cos(-0.00536891) × R
    0.00019175 × 0.999985587437326 × 6371000     		do = 1221.62164304775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00690291-0.00709466) × cos(-0.00556065) × R
    0.00019175 × 0.999984539625626 × 6371000     		du = 1221.62036299985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00536891)-sin(-0.00556065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999985587437326-0.999984539625626)×R²
    abs(0.00709466-0.00690291)×1.04781170040535e-06×R²
    0.00019175×1.04781170040535e-06×6371000²
    0.00019175×1.04781170040535e-06×40589641000000     		ar = 1492302.34101608m²