Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16431 / 16368
↖ ↑ ↗
← N  0.175781°
E  0.516358°		 ← 1 221.57 m → N  0.175781°
E  0.527343°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
N  0.164795°
E  0.516358°		 ← 1 221.57 m →
1 492 318 m²		 N  0.164795°
E  0.527343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501449584960938 y=0.499526977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501449584960938 × 215)
    floor (0.501449584960938 × 32768)
    floor (16431.5)     		tx = 16431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499526977539062 × 215)
    floor (0.499526977539062 × 32768)
    floor (16368.5)     		ty = 16368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16431 / 16368 ti = "15/16431/16368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16431/16368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16431 ÷ 215
    16431 ÷ 32768     		x = 0.501434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16368 ÷ 215
    16368 ÷ 32768     		y = 0.49951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501434326171875 × 2 - 1) × π
    0.00286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00901214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49951171875 × 2 - 1) × π
    0.0009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00901214} λ = 0.00901214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00306796157568359))-π/2
    2×atan(1.0030726725863)-π/2
    2×0.786932141778892-π/2
    1.57386428355778-1.57079632675     		φ = 0.00306796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00901214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.516358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00306796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.175781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16431 KachelY 16368 0.00901214 0.00306796 0.516358 0.175781
    Oben rechts KachelX + 1 16432 KachelY 16368 0.00920388 0.00306796 0.527343 0.175781
    Unten links KachelX 16431 KachelY + 1 16369 0.00901214 0.00287621 0.516358 0.164795
    Unten rechts KachelX + 1 16432 KachelY + 1 16369 0.00920388 0.00287621 0.527343 0.164795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00306796-0.00287621) × R
    0.00019175 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00306796-0.00287621) × R
    0.00019175 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00901214-0.00920388) × cos(0.00306796) × R
    0.000191739999999999 × 0.999995293814411 × 6371000     		do = 1221.56979103879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00901214-0.00920388) × cos(0.00287621) × R
    0.000191739999999999 × 0.999995863710869 × 6371000     		du = 1221.57048721037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00306796)-sin(0.00287621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999995293814411-0.999995863710869)×R²
    abs(0.00920388-0.00901214)×5.69896458912922e-07×R²
    0.000191739999999999×5.69896458912922e-07×6371000²
    0.000191739999999999×5.69896458912922e-07×40589641000000     		ar = 1492318.03315501m²