Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16433 / 16367
↖ ↑ ↗
← N  0.186767°
E  0.538330°		 ← 1 221.63 m → N  0.186767°
E  0.549316°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
N  0.175781°
E  0.538330°		 ← 1 221.63 m →
1 492 317 m²		 N  0.175781°
E  0.549316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501510620117188 y=0.499496459960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501510620117188 × 215)
    floor (0.501510620117188 × 32768)
    floor (16433.5)     		tx = 16433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499496459960938 × 215)
    floor (0.499496459960938 × 32768)
    floor (16367.5)     		ty = 16367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16433 / 16367 ti = "15/16433/16367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16433/16367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16433 ÷ 215
    16433 ÷ 32768     		x = 0.501495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16367 ÷ 215
    16367 ÷ 32768     		y = 0.499481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501495361328125 × 2 - 1) × π
    0.00299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00939563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499481201171875 × 2 - 1) × π
    0.00103759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00325970917416382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00939563} λ = 0.00939563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00325970917416382))-π/2
    2×atan(1.00326502780361)-π/2
    2×0.787028015098146-π/2
    1.57405603019629-1.57079632675     		φ = 0.00325970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00939563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.538330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00325970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.186767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16433 KachelY 16367 0.00939563 0.00325970 0.538330 0.186767
    Oben rechts KachelX + 1 16434 KachelY 16367 0.00958738 0.00325970 0.549316 0.186767
    Unten links KachelX 16433 KachelY + 1 16368 0.00939563 0.00306796 0.538330 0.175781
    Unten rechts KachelX + 1 16434 KachelY + 1 16368 0.00958738 0.00306796 0.549316 0.175781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00325970-0.00306796) × R
    0.00019174 × 6371000     		dl = 1221.57554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00325970-0.00306796) × R
    0.00019174 × 6371000     		dr = 1221.57554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00939563-0.00958738) × cos(0.00325970) × R
    0.000191749999999999 × 0.999994687182659 × 6371000     		do = 1221.6327596538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00939563-0.00958738) × cos(0.00306796) × R
    0.000191749999999999 × 0.999995293814411 × 6371000     		du = 1221.63350073896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00325970)-sin(0.00306796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999994687182659-0.999995293814411)×R²
    abs(0.00958738-0.00939563)×6.06631751165487e-07×R²
    0.000191749999999999×6.06631751165487e-07×6371000²
    0.000191749999999999×6.06631751165487e-07×40589641000000     		ar = 1492317.15527353m²