Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16440 / 16376
↖ ↑ ↗
← N  0.087891°
E  0.615235°		 ← 1 221.57 m → N  0.087891°
E  0.626221°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
N  0.076904°
E  0.615235°		 ← 1 221.57 m →
1 492 323 m²		 N  0.076904°
E  0.626221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501724243164062 y=0.499771118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501724243164062 × 215)
    floor (0.501724243164062 × 32768)
    floor (16440.5)     		tx = 16440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499771118164062 × 215)
    floor (0.499771118164062 × 32768)
    floor (16376.5)     		ty = 16376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16440 / 16376 ti = "15/16440/16376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16440/16376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16440 ÷ 215
    16440 ÷ 32768     		x = 0.501708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16376 ÷ 215
    16376 ÷ 32768     		y = 0.499755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501708984375 × 2 - 1) × π
    0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499755859375 × 2 - 1) × π
    0.00048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0015339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01073787} λ = 0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0015339807878418))-π/2
    2×atan(1.0015351579382)-π/2
    2×0.786165153490569-π/2
    1.57233030698114-1.57079632675     		φ = 0.00153398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00153398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.087891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16440 KachelY 16376 0.01073787 0.00153398 0.615235 0.087891
    Oben rechts KachelX + 1 16441 KachelY 16376 0.01092961 0.00153398 0.626221 0.087891
    Unten links KachelX 16440 KachelY + 1 16377 0.01073787 0.00134223 0.615235 0.076904
    Unten rechts KachelX + 1 16441 KachelY + 1 16377 0.01092961 0.00134223 0.626221 0.076904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00153398-0.00134223) × R
    0.00019175 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00153398-0.00134223) × R
    0.00019175 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01073787-0.01092961) × cos(0.00153398) × R
    0.000191739999999999 × 0.99999882345291 × 6371000     		do = 1221.57410275885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01073787-0.01092961) × cos(0.00134223) × R
    0.000191739999999999 × 0.999999099209449 × 6371000     		du = 1221.57443961629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00153398)-sin(0.00134223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99999882345291-0.999999099209449)×R²
    abs(0.01092961-0.01073787)×2.757565382705e-07×R²
    0.000191739999999999×2.757565382705e-07×6371000²
    0.000191739999999999×2.757565382705e-07×40589641000000     		ar = 1492323.08104536m²