Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16515 / 16517
↖ ↑ ↗
← S  1.461023°
E  1.439209°		 ← 1 221.18 m → S  1.461023°
E  1.450195°		 →
↑
1 221.19 m
↓
↑
1 221.19 m
↓
S  1.472006°
E  1.439209°		 ← 1 221.17 m →
1 491 291 m²		 S  1.472006°
E  1.450195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504013061523438 y=0.504074096679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504013061523438 × 215)
    floor (0.504013061523438 × 32768)
    floor (16515.5)     		tx = 16515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504074096679688 × 215)
    floor (0.504074096679688 × 32768)
    floor (16517.5)     		ty = 16517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16515 / 16517 ti = "15/16515/16517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16515/16517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16515 ÷ 215
    16515 ÷ 32768     		x = 0.503997802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16517 ÷ 215
    16517 ÷ 32768     		y = 0.504058837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503997802734375 × 2 - 1) × π
    0.00799560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02511894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.00811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0255024305978699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02511894} λ = 0.02511894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0255024305978699))-π/2
    2×atan(0.974820009567423)-π/2
    2×0.772648330050235-π/2
    1.54529666010047-1.57079632675     		φ = -0.02549967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02511894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.439209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02549967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.461023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16515 KachelY 16517 0.02511894 -0.02549967 1.439209 -1.461023
    Oben rechts KachelX + 1 16516 KachelY 16517 0.02531068 -0.02549967 1.450195 -1.461023
    Unten links KachelX 16515 KachelY + 1 16518 0.02511894 -0.02569135 1.439209 -1.472006
    Unten rechts KachelX + 1 16516 KachelY + 1 16518 0.02531068 -0.02569135 1.450195 -1.472006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02549967--0.02569135) × R
    0.000191680000000003 × 6371000     		dl = 1221.19328000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02549967--0.02569135) × R
    0.000191680000000003 × 6371000     		dr = 1221.19328000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02511894-0.02531068) × cos(-0.02549967) × R
    0.000191739999999999 × 0.999674901031363 × 6371000     		do = 1221.17840705183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02511894-0.02531068) × cos(-0.02569135) × R
    0.000191739999999999 × 0.99966999541969 × 6371000     		du = 1221.1724144766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02549967)-sin(-0.02569135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999674901031363-0.99966999541969)×R²
    abs(0.02531068-0.02511894)×4.90561167265646e-06×R²
    0.000191739999999999×4.90561167265646e-06×6371000²
    0.000191739999999999×4.90561167265646e-06×40589641000000     		ar = 1491291.20989251m²