Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16516 / 16524
↖ ↑ ↗
← S  1.537901°
E  1.450195°		 ← 1 221.20 m → S  1.537901°
E  1.461182°		 →
↑
1 221.19 m
↓
↑
1 221.19 m
↓
S  1.548884°
E  1.450195°		 ← 1 221.19 m →
1 491 316 m²		 S  1.548884°
E  1.461182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504043579101562 y=0.504287719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504043579101562 × 215)
    floor (0.504043579101562 × 32768)
    floor (16516.5)     		tx = 16516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504287719726562 × 215)
    floor (0.504287719726562 × 32768)
    floor (16524.5)     		ty = 16524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16516 / 16524 ti = "15/16516/16524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16516/16524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16516 ÷ 215
    16516 ÷ 32768     		x = 0.5040283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16524 ÷ 215
    16524 ÷ 32768     		y = 0.5042724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5040283203125 × 2 - 1) × π
    0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5042724609375 × 2 - 1) × π
    -0.008544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0268446637872314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02531068} λ = 0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0268446637872314))-π/2
    2×atan(0.973512451517141)-π/2
    2×0.771977443315994-π/2
    1.54395488663199-1.57079632675     		φ = -0.02684144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02684144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.537901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16516 KachelY 16524 0.02531068 -0.02684144 1.450195 -1.537901
    Oben rechts KachelX + 1 16517 KachelY 16524 0.02550243 -0.02684144 1.461182 -1.537901
    Unten links KachelX 16516 KachelY + 1 16525 0.02531068 -0.02703312 1.450195 -1.548884
    Unten rechts KachelX + 1 16517 KachelY + 1 16525 0.02550243 -0.02703312 1.461182 -1.548884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02684144--0.02703312) × R
    0.00019168 × 6371000     		dl = 1221.19328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02684144--0.02703312) × R
    0.00019168 × 6371000     		dr = 1221.19328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02531068-0.02550243) × cos(-0.02684144) × R
    0.000191750000000001 × 0.999639790176627 × 6371000     		do = 1221.19920354154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02531068-0.02550243) × cos(-0.02703312) × R
    0.000191750000000001 × 0.999634627463216 × 6371000     		du = 1221.1928965682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02684144)-sin(-0.02703312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999639790176627-0.999634627463216)×R²
    abs(0.02550243-0.02531068)×5.16271341088892e-06×R²
    0.000191750000000001×5.16271341088892e-06×6371000²
    0.000191750000000001×5.16271341088892e-06×40589641000000     		ar = 1491316.41445561m²