Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16548 / 16548
↖ ↑ ↗
← S  1.801461°
E  1.801758°		 ← 1 220.97 m → S  1.801461°
E  1.812744°		 →
↑
1 221.07 m
↓
↑
1 221.07 m
↓
S  1.812442°
E  1.801758°		 ← 1 220.96 m →
1 490 882 m²		 S  1.812442°
E  1.812744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505020141601562 y=0.505020141601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505020141601562 × 215)
    floor (0.505020141601562 × 32768)
    floor (16548.5)     		tx = 16548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505020141601562 × 215)
    floor (0.505020141601562 × 32768)
    floor (16548.5)     		ty = 16548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16548 / 16548 ti = "15/16548/16548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16548/16548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16548 ÷ 215
    16548 ÷ 32768     		x = 0.5050048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16548 ÷ 215
    16548 ÷ 32768     		y = 0.5050048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5050048828125 × 2 - 1) × π
    0.010009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03144661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5050048828125 × 2 - 1) × π
    -0.010009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0314466061507568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03144661} λ = 0.03144661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0314466061507568))-π/2
    2×atan(0.969042695992061)-π/2
    2×0.76967745111527-π/2
    1.53935490223054-1.57079632675     		φ = -0.03144142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03144661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.801758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03144142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.801461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16548 KachelY 16548 0.03144661 -0.03144142 1.801758 -1.801461
    Oben rechts KachelX + 1 16549 KachelY 16548 0.03163835 -0.03144142 1.812744 -1.801461
    Unten links KachelX 16548 KachelY + 1 16549 0.03144661 -0.03163308 1.801758 -1.812442
    Unten rechts KachelX + 1 16549 KachelY + 1 16549 0.03163835 -0.03163308 1.812744 -1.812442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03144142--0.03163308) × R
    0.000191660000000003 × 6371000     		dl = 1221.06586000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03144142--0.03163308) × R
    0.000191660000000003 × 6371000     		dr = 1221.06586000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03144661-0.03163835) × cos(-0.03144142) × R
    0.000191740000000003 × 0.999505759271875 × 6371000     		do = 1220.97178761567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03144661-0.03163835) × cos(-0.03163308) × R
    0.000191740000000003 × 0.999499715844462 × 6371000     		du = 1220.96440511256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03144142)-sin(-0.03163308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999505759271875-0.999499715844462)×R²
    abs(0.03163835-0.03144661)×6.04342741261643e-06×R²
    0.000191740000000003×6.04342741261643e-06×6371000²
    0.000191740000000003×6.04342741261643e-06×40589641000000     		ar = 1490882.46318323m²