Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16576 / 16576
↖ ↑ ↗
← S  2.108899°
E  2.109375°		 ← 1 220.81 m → S  2.108899°
E  2.120362°		 →
↑
1 220.75 m
↓
↑
1 220.75 m
↓
S  2.119877°
E  2.109375°		 ← 1 220.80 m →
1 490 297 m²		 S  2.119877°
E  2.120362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505874633789062 y=0.505874633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505874633789062 × 215)
    floor (0.505874633789062 × 32768)
    floor (16576.5)     		tx = 16576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505874633789062 × 215)
    floor (0.505874633789062 × 32768)
    floor (16576.5)     		ty = 16576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16576 / 16576 ti = "15/16576/16576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16576/16576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16576 ÷ 215
    16576 ÷ 32768     		x = 0.505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16576 ÷ 215
    16576 ÷ 32768     		y = 0.505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505859375 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505859375 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03681554} λ = 0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0368155389082031))-π/2
    2×atan(0.963853912497098)-π/2
    2×0.766994550800631-π/2
    1.53398910160126-1.57079632675     		φ = -0.03680723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03680723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.108899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16576 KachelY 16576 0.03681554 -0.03680723 2.109375 -2.108899
    Oben rechts KachelX + 1 16577 KachelY 16576 0.03700729 -0.03680723 2.120362 -2.108899
    Unten links KachelX 16576 KachelY + 1 16577 0.03681554 -0.03699884 2.109375 -2.119877
    Unten rechts KachelX + 1 16577 KachelY + 1 16577 0.03700729 -0.03699884 2.120362 -2.119877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03680723--0.03699884) × R
    0.000191609999999995 × 6371000     		dl = 1220.74730999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03680723--0.03699884) × R
    0.000191609999999995 × 6371000     		dr = 1220.74730999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03681554-0.03700729) × cos(-0.03680723) × R
    0.000191749999999997 × 0.999322690381729 × 6371000     		do = 1220.8118219859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03681554-0.03700729) × cos(-0.03699884) × R
    0.000191749999999997 × 0.999315620996014 × 6371000     		du = 1220.80318574684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03680723)-sin(-0.03699884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999322690381729-0.999315620996014)×R²
    abs(0.03700729-0.03681554)×7.06938571559679e-06×R²
    0.000191749999999997×7.06938571559679e-06×6371000²
    0.000191749999999997×7.06938571559679e-06×40589641000000     		ar = 1490297.4809323m²