Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16580 / 16324
↖ ↑ ↗
← N  0.659165°
E  2.153320°		 ← 1 221.56 m → N  0.659165°
E  2.164307°		 →
↑
1 221.51 m
↓
↑
1 221.51 m
↓
N  0.648180°
E  2.153320°		 ← 1 221.56 m →
1 492 150 m²		 N  0.648180°
E  2.164307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505996704101562 y=0.498184204101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505996704101562 × 215)
    floor (0.505996704101562 × 32768)
    floor (16580.5)     		tx = 16580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498184204101562 × 215)
    floor (0.498184204101562 × 32768)
    floor (16324.5)     		ty = 16324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16580 / 16324 ti = "15/16580/16324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16580/16324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16580 ÷ 215
    16580 ÷ 32768     		x = 0.5059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16324 ÷ 215
    16324 ÷ 32768     		y = 0.4981689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5059814453125 × 2 - 1) × π
    0.011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03758253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4981689453125 × 2 - 1) × π
    0.003662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0115048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03758253} λ = 0.03758253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0115048559088135))-π/2
    2×atan(1.01157129129562)-π/2
    2×0.791150464455854-π/2
    1.58230092891171-1.57079632675     		φ = 0.01150460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03758253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.153320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01150460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.659165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16580 KachelY 16324 0.03758253 0.01150460 2.153320 0.659165
    Oben rechts KachelX + 1 16581 KachelY 16324 0.03777428 0.01150460 2.164307 0.659165
    Unten links KachelX 16580 KachelY + 1 16325 0.03758253 0.01131287 2.153320 0.648180
    Unten rechts KachelX + 1 16581 KachelY + 1 16325 0.03777428 0.01131287 2.164307 0.648180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01150460-0.01131287) × R
    0.000191730000000001 × 6371000     		dl = 1221.51183000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01150460-0.01131287) × R
    0.000191730000000001 × 6371000     		dr = 1221.51183000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03758253-0.03777428) × cos(0.01150460) × R
    0.000191749999999997 × 0.999933822819336 × 6371000     		do = 1221.55840535863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03758253-0.03777428) × cos(0.01131287) × R
    0.000191749999999997 × 0.999936010168643 × 6371000     		du = 1221.5610775104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01150460)-sin(0.01131287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999933822819336-0.999936010168643)×R²
    abs(0.03777428-0.03758253)×2.18734930690356e-06×R²
    0.000191749999999997×2.18734930690356e-06×6371000²
    0.000191749999999997×2.18734930690356e-06×40589641000000     		ar = 1492149.67978501m²