Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16580 / 16580
↖ ↑ ↗
← S  2.152814°
E  2.153320°		 ← 1 220.78 m → S  2.152814°
E  2.164307°		 →
↑
1 220.75 m
↓
↑
1 220.75 m
↓
S  2.163792°
E  2.153320°		 ← 1 220.77 m →
1 490 255 m²		 S  2.163792°
E  2.164307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505996704101562 y=0.505996704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505996704101562 × 215)
    floor (0.505996704101562 × 32768)
    floor (16580.5)     		tx = 16580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505996704101562 × 215)
    floor (0.505996704101562 × 32768)
    floor (16580.5)     		ty = 16580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16580 / 16580 ti = "15/16580/16580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16580/16580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16580 ÷ 215
    16580 ÷ 32768     		x = 0.5059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16580 ÷ 215
    16580 ÷ 32768     		y = 0.5059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5059814453125 × 2 - 1) × π
    0.011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03758253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5059814453125 × 2 - 1) × π
    -0.011962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.037582529302124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03758253} λ = 0.03758253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.037582529302124))-π/2
    2×atan(0.963114929237827)-π/2
    2×0.766611320794358-π/2
    1.53322264158872-1.57079632675     		φ = -0.03757369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03758253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.153320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03757369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.152814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16580 KachelY 16580 0.03758253 -0.03757369 2.153320 -2.152814
    Oben rechts KachelX + 1 16581 KachelY 16580 0.03777428 -0.03757369 2.164307 -2.152814
    Unten links KachelX 16580 KachelY + 1 16581 0.03758253 -0.03776530 2.153320 -2.163792
    Unten rechts KachelX + 1 16581 KachelY + 1 16581 0.03777428 -0.03776530 2.164307 -2.163792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03757369--0.03776530) × R
    0.000191610000000002 × 6371000     		dl = 1220.74731000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03757369--0.03776530) × R
    0.000191610000000002 × 6371000     		dr = 1220.74731000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03758253-0.03777428) × cos(-0.03757369) × R
    0.000191749999999997 × 0.999294191953022 × 6371000     		do = 1220.77700718683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03758253-0.03777428) × cos(-0.03776530) × R
    0.000191749999999997 × 0.999286975807986 × 6371000     		du = 1220.76819166082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03757369)-sin(-0.03776530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999294191953022-0.999286975807986)×R²
    abs(0.03777428-0.03758253)×7.2161450359598e-06×R²
    0.000191749999999997×7.2161450359598e-06×6371000²
    0.000191749999999997×7.2161450359598e-06×40589641000000     		ar = 1490254.87142783m²