Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1663 / 1665
↖ ↑ ↗
← S 74.067866°
E112.324219°		 ← 5 365.34 m → S 74.067866°
E112.500000°		 →
↑
5 357.44 m
↓
↑
5 357.44 m
↓
S 74.116047°
E112.324219°		 ← 5 349.53 m →
28 702 141 m²		 S 74.116047°
E112.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812255859375 y=0.813232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812255859375 × 211)
    floor (0.812255859375 × 2048)
    floor (1663.5)     		tx = 1663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.813232421875 × 211)
    floor (0.813232421875 × 2048)
    floor (1665.5)     		ty = 1665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1663 / 1665 ti = "11/1663/1665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1663/1665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1663 ÷ 211
    1663 ÷ 2048     		x = 0.81201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1665 ÷ 211
    1665 ÷ 2048     		y = 0.81298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81201171875 × 2 - 1) × π
    0.6240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.96042745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.81298828125 × 2 - 1) × π
    -0.6259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.96656337001318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96042745} λ = 1.96042745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.96656337001318))-π/2
    2×atan(0.139936942295595)-π/2
    2×0.139034095414686-π/2
    0.278068190829372-1.57079632675     		φ = -1.29272814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96042745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29272814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.067866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1663 KachelY 1665 1.96042745 -1.29272814 112.324219 -74.067866
    Oben rechts KachelX + 1 1664 KachelY 1665 1.96349541 -1.29272814 112.500000 -74.067866
    Unten links KachelX 1663 KachelY + 1 1666 1.96042745 -1.29356905 112.324219 -74.116047
    Unten rechts KachelX + 1 1664 KachelY + 1 1666 1.96349541 -1.29356905 112.500000 -74.116047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29272814--1.29356905) × R
    0.000840910000000195 × 6371000     		dl = 5357.43761000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29272814--1.29356905) × R
    0.000840910000000195 × 6371000     		dr = 5357.43761000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96042745-1.96349541) × cos(-1.29272814) × R
    0.00306795999999987 × 0.274498554466336 × 6371000     		do = 5365.34137805758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96042745-1.96349541) × cos(-1.29356905) × R
    0.00306795999999987 × 0.273689848953736 × 6371000     		du = 5349.53444181395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29272814)-sin(-1.29356905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274498554466336-0.273689848953736)×R²
    abs(1.96349541-1.96042745)×0.000808705512600316×R²
    0.00306795999999987×0.000808705512600316×6371000²
    0.00306795999999987×0.000808705512600316×40589641000000     		ar = 28702141.0432865m²