Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16640 / 16639
↖ ↑ ↗
← S  2.800398°
E  2.812500°		 ← 1 220.12 m → S  2.800398°
E  2.823486°		 →
↑
1 220.11 m
↓
↑
1 220.11 m
↓
S  2.811371°
E  2.812500°		 ← 1 220.11 m →
1 488 670 m²		 S  2.811371°
E  2.823486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507827758789062 y=0.507797241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507827758789062 × 215)
    floor (0.507827758789062 × 32768)
    floor (16640.5)     		tx = 16640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507797241210938 × 215)
    floor (0.507797241210938 × 32768)
    floor (16639.5)     		ty = 16639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16640 / 16639 ti = "15/16640/16639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16640/16639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16640 ÷ 215
    16640 ÷ 32768     		x = 0.5078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16639 ÷ 215
    16639 ÷ 32768     		y = 0.507781982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5078125 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.01556396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0488956376124573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04908739} λ = 0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0488956376124573))-π/2
    2×atan(0.952280506780098)-π/2
    2×0.760960080345899-π/2
    1.5219201606918-1.57079632675     		φ = -0.04887617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04887617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.800398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16640 KachelY 16639 0.04908739 -0.04887617 2.812500 -2.800398
    Oben rechts KachelX + 1 16641 KachelY 16639 0.04927913 -0.04887617 2.823486 -2.800398
    Unten links KachelX 16640 KachelY + 1 16640 0.04908739 -0.04906768 2.812500 -2.811371
    Unten rechts KachelX + 1 16641 KachelY + 1 16640 0.04927913 -0.04906768 2.823486 -2.811371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04887617--0.04906768) × R
    0.000191510000000006 × 6371000     		dl = 1220.11021000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04887617--0.04906768) × R
    0.000191510000000006 × 6371000     		dr = 1220.11021000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04908739-0.04927913) × cos(-0.04887617) × R
    0.000191739999999996 × 0.998805797765283 × 6371000     		do = 1220.11673176023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04908739-0.04927913) × cos(-0.04906768) × R
    0.000191739999999996 × 0.9987964229002 × 6371000     		du = 1220.10527965435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04887617)-sin(-0.04906768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998805797765283-0.9987964229002)×R²
    abs(0.04927913-0.04908739)×9.37486508278962e-06×R²
    0.000191739999999996×9.37486508278962e-06×6371000²
    0.000191739999999996×9.37486508278962e-06×40589641000000     		ar = 1488669.89994674m²