Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16642 / 16642
↖ ↑ ↗
← S  2.833317°
E  2.834473°		 ← 1 220.15 m → S  2.833317°
E  2.845459°		 →
↑
1 220.17 m
↓
↑
1 220.17 m
↓
S  2.844290°
E  2.834473°		 ← 1 220.13 m →
1 488 783 m²		 S  2.844290°
E  2.845459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507888793945312 y=0.507888793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507888793945312 × 215)
    floor (0.507888793945312 × 32768)
    floor (16642.5)     		tx = 16642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507888793945312 × 215)
    floor (0.507888793945312 × 32768)
    floor (16642.5)     		ty = 16642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16642 / 16642 ti = "15/16642/16642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16642/16642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16642 ÷ 215
    16642 ÷ 32768     		x = 0.50787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16642 ÷ 215
    16642 ÷ 32768     		y = 0.50787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50787353515625 × 2 - 1) × π
    0.0157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04947088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.0157470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.049470880407898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04947088} λ = 0.04947088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.049470880407898))-π/2
    2×atan(0.951732871805972)-π/2
    2×0.760672806478904-π/2
    1.52134561295781-1.57079632675     		φ = -0.04945071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04947088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04945071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.833317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16642 KachelY 16642 0.04947088 -0.04945071 2.834473 -2.833317
    Oben rechts KachelX + 1 16643 KachelY 16642 0.04966263 -0.04945071 2.845459 -2.833317
    Unten links KachelX 16642 KachelY + 1 16643 0.04947088 -0.04964223 2.834473 -2.844290
    Unten rechts KachelX + 1 16643 KachelY + 1 16643 0.04966263 -0.04964223 2.845459 -2.844290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04945071--0.04964223) × R
    0.000191520000000001 × 6371000     		dl = 1220.17392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04945071--0.04964223) × R
    0.000191520000000001 × 6371000     		dr = 1220.17392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04947088-0.04966263) × cos(-0.04945071) × R
    0.000191749999999997 × 0.998777562780262 × 6371000     		do = 1220.14587271169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04947088-0.04966263) × cos(-0.04964223) × R
    0.000191749999999997 × 0.998768077522272 × 6371000     		du = 1220.13428514823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04945071)-sin(-0.04964223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998777562780262-0.998768077522272)×R²
    abs(0.04966263-0.04947088)×9.48525798960542e-06×R²
    0.000191749999999997×9.48525798960542e-06×6371000²
    0.000191749999999997×9.48525798960542e-06×40589641000000     		ar = 1488783.10760777m²