Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16649 / 16647
↖ ↑ ↗
← S  2.888181°
E  2.911377°		 ← 1 220.09 m → S  2.888181°
E  2.922363°		 →
↑
1 220.05 m
↓
↑
1 220.05 m
↓
S  2.899153°
E  2.911377°		 ← 1 220.08 m →
1 488 556 m²		 S  2.899153°
E  2.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508102416992188 y=0.508041381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508102416992188 × 215)
    floor (0.508102416992188 × 32768)
    floor (16649.5)     		tx = 16649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508041381835938 × 215)
    floor (0.508041381835938 × 32768)
    floor (16647.5)     		ty = 16647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16649 / 16647 ti = "15/16649/16647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16649/16647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16649 ÷ 215
    16649 ÷ 32768     		x = 0.508087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16647 ÷ 215
    16647 ÷ 32768     		y = 0.508026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508087158203125 × 2 - 1) × π
    0.01617431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05081311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508026123046875 × 2 - 1) × π
    -0.01605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0504296184002991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05081311} λ = 0.05081311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0504296184002991))-π/2
    2×atan(0.950820846609617)-π/2
    2×0.760194034899275-π/2
    1.52038806979855-1.57079632675     		φ = -0.05040826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05081311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.911377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05040826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.888181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16649 KachelY 16647 0.05081311 -0.05040826 2.911377 -2.888181
    Oben rechts KachelX + 1 16650 KachelY 16647 0.05100486 -0.05040826 2.922363 -2.888181
    Unten links KachelX 16649 KachelY + 1 16648 0.05081311 -0.05059976 2.911377 -2.899153
    Unten rechts KachelX + 1 16650 KachelY + 1 16648 0.05100486 -0.05059976 2.922363 -2.899153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05040826--0.05059976) × R
    0.000191499999999997 × 6371000     		dl = 1220.04649999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05040826--0.05059976) × R
    0.000191499999999997 × 6371000     		dr = 1220.04649999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05081311-0.05100486) × cos(-0.05040826) × R
    0.000191749999999997 × 0.998729772665925 × 6371000     		do = 1220.08749043225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05081311-0.05100486) × cos(-0.05059976) × R
    0.000191749999999997 × 0.998720105258951 × 6371000     		du = 1220.07568034845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05040826)-sin(-0.05059976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998729772665925-0.998720105258951)×R²
    abs(0.05100486-0.05081311)×9.66740697350144e-06×R²
    0.000191749999999997×9.66740697350144e-06×6371000²
    0.000191749999999997×9.66740697350144e-06×40589641000000     		ar = 1488556.27251899m²