Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16658 / 16658
↖ ↑ ↗
← S  3.008870°
E  3.010254°		 ← 1 219.96 m → S  3.008870°
E  3.021240°		 →
↑
1 219.92 m
↓
↑
1 219.92 m
↓
S  3.019841°
E  3.010254°		 ← 1 219.94 m →
1 488 239 m²		 S  3.019841°
E  3.021240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508377075195312 y=0.508377075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508377075195312 × 215)
    floor (0.508377075195312 × 32768)
    floor (16658.5)     		tx = 16658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508377075195312 × 215)
    floor (0.508377075195312 × 32768)
    floor (16658.5)     		ty = 16658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16658 / 16658 ti = "15/16658/16658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16658/16658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16658 ÷ 215
    16658 ÷ 32768     		x = 0.50836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16658 ÷ 215
    16658 ÷ 32768     		y = 0.50836181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50836181640625 × 2 - 1) × π
    0.0167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05253884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50836181640625 × 2 - 1) × π
    -0.0167236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0525388419835815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05253884} λ = 0.05253884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0525388419835815))-π/2
    2×atan(0.9488174663876)-π/2
    2×0.759140819450542-π/2
    1.51828163890108-1.57079632675     		φ = -0.05251469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05253884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05251469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.008870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16658 KachelY 16658 0.05253884 -0.05251469 3.010254 -3.008870
    Oben rechts KachelX + 1 16659 KachelY 16658 0.05273059 -0.05251469 3.021240 -3.008870
    Unten links KachelX 16658 KachelY + 1 16659 0.05253884 -0.05270617 3.010254 -3.019841
    Unten rechts KachelX + 1 16659 KachelY + 1 16659 0.05273059 -0.05270617 3.021240 -3.019841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05251469--0.05270617) × R
    0.000191479999999994 × 6371000     		dl = 1219.91907999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05251469--0.05270617) × R
    0.000191479999999994 × 6371000     		dr = 1219.91907999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05253884-0.05273059) × cos(-0.05251469) × R
    0.000191749999999997 × 0.998621420530489 × 6371000     		do = 1219.95512321078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05253884-0.05273059) × cos(-0.05270617) × R
    0.000191749999999997 × 0.998611351331886 × 6371000     		du = 1219.94282228256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05251469)-sin(-0.05270617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998621420530489-0.998611351331886)×R²
    abs(0.05273059-0.05253884)×1.00691986030244e-05×R²
    0.000191749999999997×1.00691986030244e-05×6371000²
    0.000191749999999997×1.00691986030244e-05×40589641000000     		ar = 1488239.03302716m²