Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1668 / 1668
↖ ↑ ↗
← S 74.211983°
E113.203125°		 ← 5 318.07 m → S 74.211983°
E113.378906°		 →
↑
5 310.23 m
↓
↑
5 310.23 m
↓
S 74.259739°
E113.203125°		 ← 5 302.39 m →
28 198 520 m²		 S 74.259739°
E113.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814697265625 y=0.814697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814697265625 × 211)
    floor (0.814697265625 × 2048)
    floor (1668.5)     		tx = 1668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.814697265625 × 211)
    floor (0.814697265625 × 2048)
    floor (1668.5)     		ty = 1668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1668 / 1668 ti = "11/1668/1668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1668/1668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1668 ÷ 211
    1668 ÷ 2048     		x = 0.814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1668 ÷ 211
    1668 ÷ 2048     		y = 0.814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814453125 × 2 - 1) × π
    0.62890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97576725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.814453125 × 2 - 1) × π
    -0.62890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.97576725474023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97576725} λ = 1.97576725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.97576725474023))-π/2
    2×atan(0.138654887800925)-π/2
    2×0.137776443737289-π/2
    0.275552887474579-1.57079632675     		φ = -1.29524344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97576725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29524344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.211983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1668 KachelY 1668 1.97576725 -1.29524344 113.203125 -74.211983
    Oben rechts KachelX + 1 1669 KachelY 1668 1.97883522 -1.29524344 113.378906 -74.211983
    Unten links KachelX 1668 KachelY + 1 1669 1.97576725 -1.29607694 113.203125 -74.259739
    Unten rechts KachelX + 1 1669 KachelY + 1 1669 1.97883522 -1.29607694 113.378906 -74.259739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29524344--1.29607694) × R
    0.000833500000000154 × 6371000     		dl = 5310.22850000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29524344--1.29607694) × R
    0.000833500000000154 × 6371000     		dr = 5310.22850000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97576725-1.97883522) × cos(-1.29524344) × R
    0.00306796999999981 × 0.272079007608098 × 6371000     		do = 5318.06631426056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97576725-1.97883522) × cos(-1.29607694) × R
    0.00306796999999981 × 0.271276857048964 × 6371000     		du = 5302.38744985643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29524344)-sin(-1.29607694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.272079007608098-0.271276857048964)×R²
    abs(1.97883522-1.97576725)×0.00080215055913424×R²
    0.00306796999999981×0.00080215055913424×6371000²
    0.00306796999999981×0.00080215055913424×40589641000000     		ar = 28198519.7631016m²