Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16703 / 16703
↖ ↑ ↗
← S  3.502455°
E  3.504638°		 ← 1 219.36 m → S  3.502455°
E  3.515625°		 →
↑
1 219.35 m
↓
↑
1 219.35 m
↓
S  3.513421°
E  3.504638°		 ← 1 219.34 m →
1 486 810 m²		 S  3.513421°
E  3.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509750366210938 y=0.509750366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509750366210938 × 215)
    floor (0.509750366210938 × 32768)
    floor (16703.5)     		tx = 16703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509750366210938 × 215)
    floor (0.509750366210938 × 32768)
    floor (16703.5)     		ty = 16703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16703 / 16703 ti = "15/16703/16703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16703/16703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16703 ÷ 215
    16703 ÷ 32768     		x = 0.509735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16703 ÷ 215
    16703 ÷ 32768     		y = 0.509735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509735107421875 × 2 - 1) × π
    0.01947021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06116748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.01947021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0611674839151917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06116748} λ = 0.06116748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0611674839151917))-π/2
    2×atan(0.940665680211023)-π/2
    2×0.754833474933985-π/2
    1.50966694986797-1.57079632675     		φ = -0.06112938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06116748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.504638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06112938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.502455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16703 KachelY 16703 0.06116748 -0.06112938 3.504638 -3.502455
    Oben rechts KachelX + 1 16704 KachelY 16703 0.06135923 -0.06112938 3.515625 -3.502455
    Unten links KachelX 16703 KachelY + 1 16704 0.06116748 -0.06132077 3.504638 -3.513421
    Unten rechts KachelX + 1 16704 KachelY + 1 16704 0.06135923 -0.06132077 3.515625 -3.513421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06112938--0.06132077) × R
    0.00019139 × 6371000     		dl = 1219.34569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06112938--0.06132077) × R
    0.00019139 × 6371000     		dr = 1219.34569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06116748-0.06135923) × cos(-0.06112938) × R
    0.000191749999999997 × 0.998132181198043 × 6371000     		do = 1219.35744923963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06116748-0.06135923) × cos(-0.06132077) × R
    0.000191749999999997 × 0.998120470650342 × 6371000     		du = 1219.34314317491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06112938)-sin(-0.06132077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998132181198043-0.998120470650342)×R²
    abs(0.06135923-0.06116748)×1.17105477016599e-05×R²
    0.000191749999999997×1.17105477016599e-05×6371000²
    0.000191749999999997×1.17105477016599e-05×40589641000000     		ar = 1486809.53281904m²