Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16712 / 16712
↖ ↑ ↗
← S  3.601142°
E  3.603515°		 ← 1 219.23 m → S  3.601142°
E  3.614502°		 →
↑
1 219.22 m
↓
↑
1 219.22 m
↓
S  3.612107°
E  3.603515°		 ← 1 219.21 m →
1 486 495 m²		 S  3.612107°
E  3.614502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510025024414062 y=0.510025024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510025024414062 × 215)
    floor (0.510025024414062 × 32768)
    floor (16712.5)     		tx = 16712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510025024414062 × 215)
    floor (0.510025024414062 × 32768)
    floor (16712.5)     		ty = 16712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16712 / 16712 ti = "15/16712/16712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16712/16712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16712 ÷ 215
    16712 ÷ 32768     		x = 0.510009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16712 ÷ 215
    16712 ÷ 32768     		y = 0.510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510009765625 × 2 - 1) × π
    0.02001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06289321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510009765625 × 2 - 1) × π
    -0.02001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0628932123015137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06289321} λ = 0.06289321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0628932123015137))-π/2
    2×atan(0.939043746655562)-π/2
    2×0.753972268238507-π/2
    1.50794453647701-1.57079632675     		φ = -0.06285179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06289321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.603515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06285179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.601142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16712 KachelY 16712 0.06289321 -0.06285179 3.603515 -3.601142
    Oben rechts KachelX + 1 16713 KachelY 16712 0.06308496 -0.06285179 3.614502 -3.601142
    Unten links KachelX 16712 KachelY + 1 16713 0.06289321 -0.06304316 3.603515 -3.612107
    Unten rechts KachelX + 1 16713 KachelY + 1 16713 0.06308496 -0.06304316 3.614502 -3.612107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06285179--0.06304316) × R
    0.000191369999999996 × 6371000     		dl = 1219.21826999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06285179--0.06304316) × R
    0.000191369999999996 × 6371000     		dr = 1219.21826999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06289321-0.06308496) × cos(-0.06285179) × R
    0.000191749999999991 × 0.998025476379844 × 6371000     		do = 1219.2270944455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06289321-0.06308496) × cos(-0.06304316) × R
    0.000191749999999991 × 0.998013438075313 × 6371000     		du = 1219.21238798019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06285179)-sin(-0.06304316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998025476379844-0.998013438075313)×R²
    abs(0.06308496-0.06289321)×1.20383045302264e-05×R²
    0.000191749999999991×1.20383045302264e-05×6371000²
    0.000191749999999991×1.20383045302264e-05×40589641000000     		ar = 1486494.98816792m²