Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1672 / 1672
↖ ↑ ↗
← S 74.402163°
E113.906250°		 ← 5 255.59 m → S 74.402163°
E114.082031°		 →
↑
5 247.79 m
↓
↑
5 247.79 m
↓
S 74.449357°
E113.906250°		 ← 5 240.08 m →
27 539 549 m²		 S 74.449357°
E114.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816650390625 y=0.816650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816650390625 × 211)
    floor (0.816650390625 × 2048)
    floor (1672.5)     		tx = 1672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.816650390625 × 211)
    floor (0.816650390625 × 2048)
    floor (1672.5)     		ty = 1672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1672 / 1672 ti = "11/1672/1672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1672/1672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1672 ÷ 211
    1672 ÷ 2048     		x = 0.81640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1672 ÷ 211
    1672 ÷ 2048     		y = 0.81640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81640625 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98803910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.81640625 × 2 - 1) × π
    -0.6328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.98803910104297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98803910} λ = 1.98803910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.98803910104297))-π/2
    2×atan(0.136963734340053)-π/2
    2×0.136116809431745-π/2
    0.27223361886349-1.57079632675     		φ = -1.29856271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98803910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29856271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.402163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1672 KachelY 1672 1.98803910 -1.29856271 113.906250 -74.402163
    Oben rechts KachelX + 1 1673 KachelY 1672 1.99110706 -1.29856271 114.082031 -74.402163
    Unten links KachelX 1672 KachelY + 1 1673 1.98803910 -1.29938641 113.906250 -74.449357
    Unten rechts KachelX + 1 1673 KachelY + 1 1673 1.99110706 -1.29938641 114.082031 -74.449357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29856271--1.29938641) × R
    0.000823700000000205 × 6371000     		dl = 5247.79270000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29856271--1.29938641) × R
    0.000823700000000205 × 6371000     		dr = 5247.79270000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98803910-1.99110706) × cos(-1.29856271) × R
    0.00306796000000009 × 0.268883464392247 × 6371000     		do = 5255.58897817883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98803910-1.99110706) × cos(-1.29938641) × R
    0.00306796000000009 × 0.268090007898804 × 6371000     		du = 5240.08009885436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29856271)-sin(-1.29938641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.268883464392247-0.268090007898804)×R²
    abs(1.99110706-1.98803910)×0.000793456493443534×R²
    0.00306796000000009×0.000793456493443534×6371000²
    0.00306796000000009×0.000793456493443534×40589641000000     		ar = 27539549.3391315m²