Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16800 / 16800
↖ ↑ ↗
← S  4.565474°
E  4.570312°		 ← 1 217.76 m → S  4.565474°
E  4.581299°		 →
↑
1 217.69 m
↓
↑
1 217.69 m
↓
S  4.576425°
E  4.570312°		 ← 1 217.74 m →
1 482 846 m²		 S  4.576425°
E  4.581299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512710571289062 y=0.512710571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512710571289062 × 215)
    floor (0.512710571289062 × 32768)
    floor (16800.5)     		tx = 16800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.512710571289062 × 215)
    floor (0.512710571289062 × 32768)
    floor (16800.5)     		ty = 16800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16800 / 16800 ti = "15/16800/16800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16800/16800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16800 ÷ 215
    16800 ÷ 32768     		x = 0.5126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16800 ÷ 215
    16800 ÷ 32768     		y = 0.5126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5126953125 × 2 - 1) × π
    0.025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07976700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5126953125 × 2 - 1) × π
    -0.025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0797670009677734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07976700} λ = 0.07976700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0797670009677734))-π/2
    2×atan(0.923331456661246)-π/2
    2×0.745556890712279-π/2
    1.49111378142456-1.57079632675     		φ = -0.07968255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07976700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07968255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.565474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16800 KachelY 16800 0.07976700 -0.07968255 4.570312 -4.565474
    Oben rechts KachelX + 1 16801 KachelY 16800 0.07995875 -0.07968255 4.581299 -4.565474
    Unten links KachelX 16800 KachelY + 1 16801 0.07976700 -0.07987368 4.570312 -4.576425
    Unten rechts KachelX + 1 16801 KachelY + 1 16801 0.07995875 -0.07987368 4.581299 -4.576425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07968255--0.07987368) × R
    0.000191129999999998 × 6371000     		dl = 1217.68922999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07968255--0.07987368) × R
    0.000191129999999998 × 6371000     		dr = 1217.68922999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07976700-0.07995875) × cos(-0.07968255) × R
    0.000191749999999991 × 0.996827024995696 × 6371000     		do = 1217.76301919541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07976700-0.07995875) × cos(-0.07987368) × R
    0.000191749999999991 × 0.996811793173881 × 6371000     		du = 1217.74441140403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07968255)-sin(-0.07987368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996827024995696-0.996811793173881)×R²
    abs(0.07995875-0.07976700)×1.5231821815509e-05×R²
    0.000191749999999991×1.5231821815509e-05×6371000²
    0.000191749999999991×1.5231821815509e-05×40589641000000     		ar = 1482845.58842706m²