Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16880 / 16944
↖ ↑ ↗
← S  6.140555°
E  5.449219°		 ← 1 214.63 m → S  6.140555°
E  5.460205°		 →
↑
1 214.57 m
↓
↑
1 214.57 m
↓
S  6.151478°
E  5.449219°		 ← 1 214.61 m →
1 475 235 m²		 S  6.151478°
E  5.460205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515151977539062 y=0.517105102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515151977539062 × 215)
    floor (0.515151977539062 × 32768)
    floor (16880.5)     		tx = 16880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517105102539062 × 215)
    floor (0.517105102539062 × 32768)
    floor (16944.5)     		ty = 16944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16880 / 16944 ti = "15/16880/16944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16880/16944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16880 ÷ 215
    16880 ÷ 32768     		x = 0.51513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16944 ÷ 215
    16944 ÷ 32768     		y = 0.51708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51513671875 × 2 - 1) × π
    0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51708984375 × 2 - 1) × π
    -0.0341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.107378655148926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09510681} λ = 0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.107378655148926))-π/2
    2×atan(0.898185506024837)-π/2
    2×0.731811713972553-π/2
    1.46362342794511-1.57079632675     		φ = -0.10717290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10717290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.140555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16880 KachelY 16944 0.09510681 -0.10717290 5.449219 -6.140555
    Oben rechts KachelX + 1 16881 KachelY 16944 0.09529856 -0.10717290 5.460205 -6.140555
    Unten links KachelX 16880 KachelY + 1 16945 0.09510681 -0.10736354 5.449219 -6.151478
    Unten rechts KachelX + 1 16881 KachelY + 1 16945 0.09529856 -0.10736354 5.460205 -6.151478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10717290--0.10736354) × R
    0.000190639999999992 × 6371000     		dl = 1214.56743999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10717290--0.10736354) × R
    0.000190639999999992 × 6371000     		dr = 1214.56743999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09510681-0.09529856) × cos(-0.10717290) × R
    0.000191750000000004 × 0.994262479685944 × 6371000     		do = 1214.6300699867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09510681-0.09529856) × cos(-0.10736354) × R
    0.000191750000000004 × 0.994242069267105 × 6371000     		du = 1214.60513581794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10717290)-sin(-0.10736354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994262479685944-0.994242069267105)×R²
    abs(0.09529856-0.09510681)×2.04104188388232e-05×R²
    0.000191750000000004×2.04104188388232e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.04104188388232e-05×40589641000000     		ar = 1475234.99700392m²