Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16888 / 16920
↖ ↑ ↗
← S  5.878332°
E  5.537109°		 ← 1 215.22 m → S  5.878332°
E  5.548096°		 →
↑
1 215.20 m
↓
↑
1 215.20 m
↓
S  5.889261°
E  5.537109°		 ← 1 215.19 m →
1 476 721 m²		 S  5.889261°
E  5.548096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515396118164062 y=0.516372680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515396118164062 × 215)
    floor (0.515396118164062 × 32768)
    floor (16888.5)     		tx = 16888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516372680664062 × 215)
    floor (0.516372680664062 × 32768)
    floor (16920.5)     		ty = 16920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16888 / 16920 ti = "15/16888/16920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16888/16920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16888 ÷ 215
    16888 ÷ 32768     		x = 0.515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16920 ÷ 215
    16920 ÷ 32768     		y = 0.516357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515380859375 × 2 - 1) × π
    0.03076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09664079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516357421875 × 2 - 1) × π
    -0.03271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.1027767127854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09664079} λ = 0.09664079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.1027767127854))-π/2
    2×atan(0.902328429391068)-π/2
    2×0.734100038479149-π/2
    1.4682000769583-1.57079632675     		φ = -0.10259625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09664079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10259625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.878332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16888 KachelY 16920 0.09664079 -0.10259625 5.537109 -5.878332
    Oben rechts KachelX + 1 16889 KachelY 16920 0.09683254 -0.10259625 5.548096 -5.878332
    Unten links KachelX 16888 KachelY + 1 16921 0.09664079 -0.10278699 5.537109 -5.889261
    Unten rechts KachelX + 1 16889 KachelY + 1 16921 0.09683254 -0.10278699 5.548096 -5.889261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10259625--0.10278699) × R
    0.000190739999999995 × 6371000     		dl = 1215.20453999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10259625--0.10278699) × R
    0.000190739999999995 × 6371000     		dr = 1215.20453999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09664079-0.09683254) × cos(-0.10259625) × R
    0.000191749999999991 × 0.994741619643338 × 6371000     		do = 1215.21540616481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09664079-0.09683254) × cos(-0.10278699) × R
    0.000191749999999991 × 0.994722066652332 × 6371000     		du = 1215.19151946355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10259625)-sin(-0.10278699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994741619643338-0.994722066652332)×R²
    abs(0.09683254-0.09664079)×1.95529910053116e-05×R²
    0.000191749999999991×1.95529910053116e-05×6371000²
    0.000191749999999991×1.95529910053116e-05×40589641000000     		ar = 1476720.76951269m²