Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16913 / 16911
↖ ↑ ↗
← S  5.779967°
E  5.811768°		 ← 1 215.43 m → S  5.779967°
E  5.822754°		 →
↑
1 215.40 m
↓
↑
1 215.40 m
↓
S  5.790897°
E  5.811768°		 ← 1 215.40 m →
1 477 212 m²		 S  5.790897°
E  5.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516159057617188 y=0.516098022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516159057617188 × 215)
    floor (0.516159057617188 × 32768)
    floor (16913.5)     		tx = 16913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516098022460938 × 215)
    floor (0.516098022460938 × 32768)
    floor (16911.5)     		ty = 16911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16913 / 16911 ti = "15/16913/16911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16913/16911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16913 ÷ 215
    16913 ÷ 32768     		x = 0.516143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16911 ÷ 215
    16911 ÷ 32768     		y = 0.516082763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516143798828125 × 2 - 1) × π
    0.03228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10143448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516082763671875 × 2 - 1) × π
    -0.03216552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.101050984399078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10143448} λ = 0.10143448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.101050984399078))-π/2
    2×atan(0.903886947578201)-π/2
    2×0.734958440838567-π/2
    1.46991688167713-1.57079632675     		φ = -0.10087945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10143448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.811768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10087945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.779967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16913 KachelY 16911 0.10143448 -0.10087945 5.811768 -5.779967
    Oben rechts KachelX + 1 16914 KachelY 16911 0.10162623 -0.10087945 5.822754 -5.779967
    Unten links KachelX 16913 KachelY + 1 16912 0.10143448 -0.10107022 5.811768 -5.790897
    Unten rechts KachelX + 1 16914 KachelY + 1 16912 0.10162623 -0.10107022 5.822754 -5.790897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10087945--0.10107022) × R
    0.000190770000000007 × 6371000     		dl = 1215.39567000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10087945--0.10107022) × R
    0.000190770000000007 × 6371000     		dr = 1215.39567000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10143448-0.10162623) × cos(-0.10087945) × R
    0.000191750000000004 × 0.994915982006917 × 6371000     		do = 1215.42841407197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10143448-0.10162623) × cos(-0.10107022) × R
    0.000191750000000004 × 0.99489675175493 × 6371000     		du = 1215.40492164136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10087945)-sin(-0.10107022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994915982006917-0.99489675175493)×R²
    abs(0.10162623-0.10143448)×1.92302519870235e-05×R²
    0.000191750000000004×1.92302519870235e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.92302519870235e-05×40589641000000     		ar = 1477212.15983891m²